原子跃迁的秘密

主说：让原子跃迁

于是

原子见到光，便会了跃迁

原子中每个电子原本都存在于各自稳定的能级之中，因此原子自身是稳定的。假使有一束光子袭来，实验告诉我们，电子能够一份一份地吸收这些光子，且自身从低能级跃迁到高能级上去。与此同时，激光告诉我们，电子也能被这个光子诱导，从一个高能级衰变到低能级下来；此外，led灯也告诉我们，即便没有外加光子的骚扰，因为真空震荡，这些真空中的虚光子也可以诱导电子衰变，形成自发辐射。电子和光子的相互作用，不可谓不丰富，不可谓不独特，不可谓不神奇。

然而电子－光子相互作用的跃迁是要满足一定条件的。从能量上看，能量要守恒：Ei=Ef+gamma。其中Ef是终态电子在原子核中的能量，Ei是初态的能量，gamma是光子的能量。除此之外，角动量也要守恒：电子的初态绕着原子核转，有这么一个角动量a，终态上，电子以另外一种形态绕着原子核转，有这么一个角动量b。这两个角动量的差必须由光子来补充，这就是角动量守恒的限制。

不过一个以概率云存在的电子，是怎么能够发射出光子的呢？那么电子波函数的跃迁和一个经典的辐射模型有没有什么联系？从经典的电磁理论中我们且知，一个变速运动的电子能发出光子；一个简谐震荡的偶极子也能够发射光子（偶极子辐射）。这两者之间是否存在着联系？本文希望能在有限的篇幅内理其深意，予以解答。

1. 稳态的波函数：

作为准备，我们以氢原子为例，将电子在稳态下各个能级的波函数绘出如下：

其中L代表不同的角动量，ml代表不同的角动量分量，主量子数n决定波函数的能量但不影响其角度分布。我们只主要注意L<n即可，因此这里略去。不难发现一下几点：

1，角动量为0的波函数是一个中心对称的圆球，在任何方向没有极化。

2，角动量不为0的波函数，在空间存在极化。这里选择z为我们的极化轴，那么ml就代表波函数在z轴上的角动量分量。不难看出，当ml＝1，2，3时，波函数呈以z轴为中心的扁平状，这其实可以看作是电子的相位沿着扁平状的轨道绕着z 轴旋转。ml取的正，负号无非是电子旋转的方向顺／逆时针不同罢了。当ml=0时候，电子的相位轨迹可以看作是沿着z轴在z正负半轴震荡，因此其运动在z轴上的投影为0。

3，注意，电子相位的轨迹并不是电子运动的轨迹。波函数的模中已经没有了相位信息，因此电子在上述能级中是依照空间中的概率密度稳定存在的。这时候的电子因为静止，自然无法辐射光子。

2. 波函数的相干：

由上可知，虽然波的相位运动能决定角动量，但波的相位不会决定电子存在的概率分布。这是不是说波的相位从物理观测的角度上说，就毫无意义了呢？

如果能够回想起光的干涉试验，我们就会明白，在干涉中，波的相位将会呈现出明确的物理意义：它能通过相消和相长干涉重新定义波的概率分布。

把电子看作波，本质上说也就等价于允许电子进行干涉。那么电子究竟是否会发生干涉么？如果是，在什么条件下发生，干涉的结果又是如何呢？

3. 电子的干涉：

如果没有外界扰动，电子将永远地在自己地能级上呆下去，他们的确并不会干涉。然而在外加电磁波存在的情况下，局面发生了一些改变。

由微扰理论我们可知，系统在存在扰动情况下的本征态，将不可避免地成为无微扰时本征态的线性组合。假定原子有2个能态|1>和|2>。那么微扰后，系统新的本征态将会变成［1］：

|1>'=a|1>+b|2>, ....

这里的a和b是一个和扰动大小以及形式有关的系数。和电磁波中光的干涉一样，此处的线性组合，就代表了电子波函数之间的干涉：因为如果我们算新状态|1>'的强度（概率密度），也就是他的模，那么在表达式中将不可避免地出现|1>和|2>的交叉项，他们互相之间的相位就会开始起作用。

从薛定锷时间演化方程我们知道，电子波函数含时分量的相位正比于其能量：

也就是说，交叉项本身非但不为0，而且还含有一个和两个能级能量差相等的振荡频率。实际上我们下面就会说明，这么一个振荡频率，就是干涉后，电子概率波运动的频率，这也就决定了电子偶极子振荡后，发出/吸收光子的频率。转化成我们熟悉的语言，这就是著名的：

跃迁能量守恒关系。

4. 干涉，偶极子允许跃迁和跃迁禁闭：

由上可知，微扰导致干涉，而最后一节我们会看到，干涉就是引起跃迁根本原因。根据已知的本征态波函数和上面的含时相位关系，我们依次计算出不同能级干涉状态下的演化波函数。为了方便观察，我们将其做成了动画的形式（下图作者版权所有），依次列举如下：

4.1  态 l=0 和 l=1, ml=0 的干涉：

不难发现，这描述的是一个概率波沿着z轴振荡的电子。其振荡频率就等于两个能级之差（除以hbar）。考虑到电子带负电，原子核带正电，原子核不动，因此这就是一个振荡的偶极子。显然，该偶极子能够释放或者吸收一个线偏振光子。这就形象描述了一个从l=0到l=1，delta l=1这么一个跃迁过程中，电子波函数的演化过程。

4.2  态 l=0 和 l=1, ml=1 的干涉：

这是一个概率波绕着着z轴旋转振荡的电子。同时它就构成了一个旋转振荡的偶极子。显然，该偶极子能够释放或者吸收一个逆时针的圆偏振光子。这就形象描述了一个delta l=1 同时 delta ml=1 这么一个跃迁过程中，电子波函数的演化过程。

4.2  态 l=0 和 l=1, ml=－1 的干涉：

这是一个概率波绕着着z轴旋转振荡的电子。同时它就构成了一个旋转振荡的偶极子。显然，该偶极子能够释放或者吸收一个顺时针的圆偏振光子。这就形象描述了一个delta l=1 同时 delta ml=－1 这么一个跃迁过程中，电子波函数的演化过程。

以上3种情态对应了经典电磁场中振荡的电偶极子，因此能释放／吸收光子。这种跃迁叫做电偶极子允许跃迁

4.3  态 l=0 和 l=2, ml=0 的干涉：

我们下面来看一看一个电子如果要从l=0跃迁到l=2 上去，将会出现什么样子的情态：

你能看到，此刻，电子云虽然也在振荡，可由于其关于z轴原点处对称，在正半轴的电子云和负半轴的电子云恰好抵消，因此无法产生一个非零的偶极子，这样的跃迁不能辐射和吸收光子。这因此也叫做电偶极子跃迁禁闭。也就是说，如果你对氢原子照射一个光子，在电偶极子理论下，它是无论如何也不会发生从l=0到l=2的跃迁的。

出于好奇，我们再看一看ml＝1和2情况下，l从0到2的“跃迁”情态：

（ml＝1）

（ml=2）

这些ml非零的跃迁虽然存在围绕z轴的角动量，但因为电子云始终关于旋转轴对称，无法形成有效的极化（你可以看成2个头尾相反的偶极子的叠加，他们的有效偶极子就是0），因此无法进行偶极子辐射。他们因此也是电偶极子跃迁禁闭的。

4.4  态 l=0 和 l=3, ml=0 的干涉：

出于好奇，我们再看看从0到3的干涉图样：

能够证明，此时的波函数仍旧是关于z轴对称的（虽然形状不同，但积分之后，总电荷量是对称的）。因此同理，也无法进行电偶极子辐射。

4.5  其他几种从l=1到l=2态的干涉：

从上到下依次是ml=0,1,2。如果取ml=-1,-2，那么旋转方向变成顺时针。这些情态下，不难发现当ml=0和1时，是存在偶极子跃迁的，ml=2时没有偶极子跃迁。

5. 偶极子跃迁选择定理

由上分析，我们不难得到著名的偶极子跃迁选择定理(selection rule):

这也就是偶极子跃迁能发生的条件。从上面的动画，我相信大家此刻都对这么一条抽象的定理有了更为形象和深刻的理解：因为只有满足这些条件的跃迁，才会干涉出有效的振荡偶极子。其一般性可以从偶极子的空间对称性中得到证明。

6. 多极子的跃迁［3］

答案是否定的。这些非偶极子的电荷分布完全可能发射出四极子，八极子甚至更高数目极子的辐射，详细的说明可以参考jackson的关于偶极展开这部分内容。只不过这些多极子的强度将大大小于偶极子（每一级约为1000倍）。在存在偶极子跃迁的系统中，我们观察到的吸收主要来自于偶极子。

例如关于四极子，我们也有对应的允许／禁闭条件：

这也就是说，类似4.3的情况，将会存在四偶极子振荡；类似4.4的情况，将会存在八偶极子。类似4.5（3）的情况，因为既不满足偶极子又不满足四极子或更高极子的条件，因此不会有任何辐射，也就不会和对应的光子发生任何耦合（4.5（3）的形状也的确够扭曲的）。

7. 跃迁

在电磁场对原子体系进行扰动的过程中，电子云的相关各态之间发生了干涉。在做图的时候，我们假定了a,b系数恒定。这是不符合事实全貌的，但却是合理的，因为外加扰动的振荡频率应该远小于电子波函数本身的演化频率（或者说，电磁波的能量小于电子所在能态的能量）。因此，上文给出的演化情态在扰动过程中来看，是符合事实的。

但干涉的电磁波本身毕竟是时间的函数，严格地说，我们应该使用含时微扰。因为篇幅限制，我们不可能继续展开，但有一点可以肯定的是，此刻系数a,b也会是时间的函数。在吸收开始前，a=1,b=0，系统完全处于初态；在吸收结束后b=1,a=0，系统终结于末态。因此电子的波函数不会是永远振荡的，而是始于作用开始，结于作用完成。在这一过程中，电子将完成数十到数百次如上述的振荡，释放出一个频率满足E1-E2关系的光子波包。这个波包的长度可以从这一振荡总的持续时间来估算；这一时间总的来说满足时间－能量的测不准定理。

从上述偶极子振荡发出的功率，我们还能算出每秒钟，电子振荡所释放/吸收的光子数。由此我们能得到吸收/辐射的概率，并推算跃迁通道的life time。这些结论都和爱因斯坦的公式完全吻合［2］。

最后，我们以l=0 到 l=1且ml=0为例，考虑一个a,b含时变化下，电子云真实的振荡情况。由此我们能形象的看出一个电子是如何从初始状态，通过干涉，最终振荡跃迁到终止状态中去的：

全文完

［1］：量子力学的不含时微扰论

［2］：具体的计算细节可参考：Introduction to Modern Optics, Grant R Fowles.

［3］：注意到多极子跃迁中，角动量变化可能大于光子的自旋角动量，Lphoton=1，这一部分多余的角动量将由光子的轨道角动量提供。

Bo Zeng

(c)2013

互联网的庸众

我想，在互联网诞生之初，网络上是没有庸众的。

那么在互联网之末，也应该没有。

每个人都有潜力成为一些领中的专家。这里的专家，并非说一定要是达到国际水准的，受到世界公认的科学家，技术家，而是指对于这些范围内的话题，他们能提出起码的创见。这些创见具有庸言绯语所不具有的洞察力，创新性，给听众带来价值。

可惜往往当这些专家们，不论是富二代之中关于如何包养美女，如何买超跑，如何一掷千金做房地产买卖的专家，还是一般穷二代那些关于如何出国，考试，当公务员，学习化工，生仪，计算机等等方面的专家，当他们打破自然和社会的隔阂，欢聚一首时，当他们开始谈论那些和彼此“专业”都不相干的话题时，就出现了以下的现象：

1000个人转发，“请写下你现在手中书本第457页第2段的第3行的句子是什么“

这1000个人，我不愿意否认他们在各自领域的专业性，但他们以上的表演，将不啻为网络垃圾信息最大的制造者，和网络社区（如果还值得我们这么称呼的话）最大的庸众。这种信息，不能给听众带来任何价值，反而会激励他们内心展现自己在线的基因，拉无数的人下水。你想这种毫无门槛的东西，连一个比我还不如的人都获得了”参与，体现，传播和认可“，我又何故要缺席呢？

对，因此，数不尽的专家学者，那么本来对社会有价值的人，都纵身跳海了，虽然他们明明知道等到第二天，又会有“请写下你现在手中书本第3457页第4段的第2行的句子是什么“这样的东西把自己的排行榜洗白。

毫无疑问，互联网把人变得浮躁。在互联网成熟之前，我们所见，所听，所看，绝大部分都是人类精英中智慧的结晶，哪怕你看的是盗版。这些结晶，拉了我们一把，缩小了我们和精英的差距，给我们成为下一代，各个领域中的贡献者，铺平了道路。

我们看的新闻报道，是专业的，从来不是抱怨，流言和传闻；我们听的摇滚cd，是专业的，从来不是东施效颦，矫揉造作，强说愁；我们看的教材，电视剧，电影，显然也都是专业的，他们中的太多都成为了经典。我们从来不会听一个传媒系毕业的新闻剪辑出的cd，也不会看一个导演写的中学科学教材。这些东西，有些价值到现在还没有变，不过另外一些时至今日，已经变的面目全非。

草根化的潮流扩大了参与面，激活了一些交流互动，但如果不加控制，其带来的庸俗瘟疫就会蔓延，而我们每个人都会成为受害者。

网络的浮躁与参差不齐，让乐意在其中发现价值的人感到十分难堪。看看“知乎”，即便"stackexchange" ，长期在劣币，混乱，弱智和民科的笼罩下无法幸免。我们只好得出，真正创造价值的社区却不得已都是封闭的这种自我打脸的结论。

享有盛誉，言简意赅而又一针见血的经济政治杂志《经济学人》是不会允许一个交大毕业的工科生去发表什么言论的；可是校内对一个小学生都不设门槛，那么其不忍卒读的程度也就不难意会了。可问题是，《经济学人》每个人都能买得，既然如此，为什么还要把时间花费在校内这个毫无价值的地方上呢？

我想这批人中的少一部分，还是依旧对网络社区所蕴涵的价值真心不死。的确，在一个连mit 录取者，国内知名高校毕业生都来玩的地方，即便有再多的不堪，又如何能掩盖掉这些金子所散发的灿烂？

经验帖，业内人士的独到分析，辟谣，科普，甚至科研，算是我们能在校内这一堆断壁残垣中所能找到的，为数不多的灿烂。这些在从前往往应该是出书，慎重编辑和装潢的东西，摇身一变成为了网络时代毫无成本的码字软文，毫无门槛的发表，对于这些文字的权威性本身，就打上了一个问号。虽然在这个意义上，本文也不能幸免。站得高，风非加疾也，而闻者彰；可惜曲高和寡，这些作者们也只好站低一点，甚至随性而来，信手拈来了。

数一数过去的一年，你在“找出手上书中多少页多少行中的那句话“，”记得你是和谁一起看的泰坦尼克“这样的展开双手拥你进入地域的帖子上花了多少时间，数一数你在钓鱼贴，辟谣贴，反辟谣贴的论战中自得其感意淫快乐上花了多少时间，数一数你在校园牛人，政经明星，韩寒，白岩松，加藤嘉一的醍醐灌顶中飘飘欲仙，第二天醒来却又自觉与己于事无补，无所想干上花了多少时间。

这些浪费掉了的时间，全部加起来，如果都花在一本权威的书，花在活生生的人，花在身边的cd，花在最近的亲情上，是不是早就把一个人炼就成了仙。能否摆脱网络社交这种虚伪的参与者存在感游戏？我想如果能，从这一刻起，你就走出了平庸。

虚拟社交这是一场浩大的社会实验，成本是作者的激情，代价是观众的生命和时间。

Bo

2013 新年 

On the linear and spin angular momentum of light

我们都知道光有动量，轨道角动量【1】，还有自旋。关于这三者的讨论汗牛充栋，争论不休，计算繁杂。作为普通大叔，如何避开MAXWELL方程组，形象地理解和推导他们，是一个首要问题。

实际上，考虑到MAXWELL方程的普适性，我们认为一个单电子振动模型，足以。本文将证明事实的确如此。

1. 自由单电子模型：

假定有一个自由的电子在空间，它在平面波下的运动方程为：

后面我们会说明，这个运动方程对于解决本问题是没有用的。不论如何，我们还是先来看看这个运动的稳态解：

方程的谐波解显然，是：

速度则是：

由此，出于无聊，我们画出几个周期内，电子的位移，速度和受力情况：

注意到力和速度相位总是相差180度。W=F＊V，这种情况下，电场对电子其实是不做功的：前半周期做的功，后半周期又被电子还回来了。

2. 带吸收电子模型

光子必须对电子做功，或者说，被电子吸收，光子的动量、自旋等才可能转移到电子上去。上述模型不存在吸收项。为了分析问题，我们必须引入吸收项：

记第一项的系数为A，第二项为B，我们有：

因而速度项：

如果我们只考虑电子吸收光子的过程，作B项图：

这时电子的受力和速度就是同相位的了。

3. 电场方向与电子动量：

由上分析，我们知道，电子在电场方向受到激励，做简单振动；振动的一部分只是好玩，没有吸收任何能量（散射），振动的另一部分不好玩，是吸收能量的（吸收）。但，不论是哪一种，或者他们两者的叠加，电子本身在电场方向是一个稳定运动，其动量和位移是简单谐振，平均值是0。实际上出于对称性，电场方向不可能有非零的动量传递。由此我们看到，电子吸收光子的能量，把能量传递给了摩擦等；但电子在电场方向上，并未获得实质性的动量。

那电子如何吸收光子的动量呢？

考虑到磁场和洛仑兹力，一切就能解释了。

磁场和电场同相位，且在电场的右手。因此，洛仑兹力给出的磁场里方向恰好沿着波矢k。认识到磁场就是电场的相对论效应（见4 VECTOR和FIELD TENSOR一文），光子的能量被电子横向吸收，光子的动量，则借助磁场，纵向传给了电子。（认识到，磁场对电子不做功，磁场只负责传递动量；一个负责传递能量，一个负责传递动量；一个是时间的化身，一个是空间的魅影；一个是第一列，一个是后三行【2】。这种鬼斧神工，不得不让人为之倾倒和惊叹）

注意到，B=E/c，其中c是光速。

根据动量定理，我们不难得到：

这就是单位时间内电子吸收的动量；

由上分析，其吸收的能量是：

我们有光子的能量动量之比：

由此我们可以得到，光子的静止质量为0。

4. 圆偏振：

光子是唯一个自旋能够在真实空间得意表征的基本粒子：实验表明，光子的自旋和光子的偏振有关，经常有题目求圆偏振光作用在材料上，材料受到的力矩是多大，但解答往往是首先利用了光子自旋角动量的结论，这属于循环论证。下面我们就来从头出发彻底求解这个问题，并给出光子的自旋。

取一个右旋圆偏振光，如何求解在自旋光下电子的运动呢？咋看之下很复杂，实际上非常简单。注意到在右旋偏振下，我们有如下分量关系式（保证电磁场的总强度不变）：

我们只需要分别求解正交坐标下x和y分量的运动，再合成即可。在上文中，我们已经解出了y方向的运动，x方向的运动仅仅是差了180度相位。我们可以直接写出电子的运动方程：

不难发现，电子将做一个从左到右顺时针定圆运动：

圆偏振场下，电子的运动轨迹就是一个圆。考虑到体系的旋转对称性，这个结论实际上可以不加证明的给出。

由于电子的运动可以被分解成x和y轴的独立运动，电场也能被分解为独立的2个分量，因此，关于做功，动量和能量等的分析，都和上文里线偏正的结论一样，那就是：磁场传递动量，电场传递能量；他们的值与上文一样。

如果考虑到磁场的动量转移，电子的运动轨迹将是一个螺线，在z方向上不断获得动量，匀加速运动。

任意一时刻，我们知道粒子的位置，我们也知道粒子的受力，不难得到粒子所受的力矩：

由符号可知，力矩方向也为顺时针右转方向。如果光子圆偏振为左偏，那么x方向电场将反向，不难知道，力矩方向也将反向（逆时针左转方向）。因此，电磁场对电子的力矩和光子圆偏振方向相同。

5. 自旋

由上，我们可以得到如下量纲关系（对sin平方取周期平均之后）。这两个公式是本文最重要的结论：

正如磁场洛伦次力表示了光子动量的损失一样，这里，力矩就表示光子被吸收后，自旋角动量的损失。这个关系是由牛顿力学决定的。

6. 自旋的量子化

于是，从光子的量子化假设，我们知道，光子的能量是频率乘以普朗克常数：

其中dN 是单位时间内，被吸收掉的光子数；omega是光子频率；k是光子波数；hbar是普朗克常数。

由上式，我们非但得出了光子的动量表达式，还证明了光子的自旋量子数！本文中，这个自旋数是正还是负已经无关紧要了，重要的是，光子的自旋角动量必须为hbar或者-hbar（如果是反向旋转），方向与波矢方向共线。由此，我们证明了，光子的角动量量子数为1。实际上，当角动量为1时，光子沿着波矢顺时针旋转；-1时，逆时针旋转。

至此，我们通过普适的单电子振动模型，解释了光子的动量和自旋角动量，并给出了他们的动力学解释和力学效应。

Bo，2013年1月17日

内容据作者所知还没有出现在公开发行的教材与刊物中，因此保留本文全部权利。

【1】 本文将不讨论轨道角动量的问题。有兴趣的读者可以去看波导中的模以及模的角动量；optical vortex和phase singularity等内容。对于轨道角动量，自旋角动量以及内秉角动量，外部角动量的讨论持续了数十年，最近才达成共识。本文计算的角动量和位置无关，应是自旋角动量。

【2】 见本人日志

4-Vector 和 Field Tensor，电磁场的相对论故事

3维空间中有3维矢量；我们是时空是4维空间，自然也有4维矢量。

问题是，哪些是合法的4-矢量？又问，如果小黄瓜和小黄鸡站在不同的参考系中，如何理解磁就是电的相对论效应？

0. 矢量和除法定理

先检查基本的矢量，也就是3-矢量。我们对三维空间中，表示位移的量A称为“矢量”并无异议。因为不难验证，如果把A写成列矩阵的形式，其满足在旋转操作下的变化规律：

(1)

其中A’ 为旋转后的新矢量，L是旋转矩阵，A是原矢量。旋转后，A的长度并没有变，但其在X，Y，Z方向上组成的分量显然发生了变化。这种描述各分量在旋转操作下发生上述变化的数学量，就是矢量。

因此凡是满足（1）式的数学量，就是矢量。

值得一提的是标量，其在旋转操作后，自身并不发生变化：

因此在任意维度的空间中只有一个分量，而且这个分量在旋转操作后不变的量，就是标量。

一个3-矢量乘以或者除以任意一个标量常数，仍然满足（1），因此还是3-矢量。这就是矢量的除法定理。

1. 寻找矢量

除了满足（1）的量，以及除法定理的量是3-矢量以外，我们需要问，还有什么样的量也是3矢量？

注意到如下的微分算符：

定义为散度。一般认为，一个矢量的散度是一个标量。那么，我们不难得到：

因为旋转是任意的，那么唯一合理的解释便是【1】：
（2）

这也就是说，del 算子也是一个矢量。

这对于我们判断（逆协变）矢量又有什么帮助呢？当然有。实际上，我们只要找到满足形如（3）式：

（3）

如果K是一个标量，根据同样的逻辑，那么我们可以断定，C必定是也一个矢量。

2 4-Vector

我们用上面的方法来证明四矢量。下面是相对论中最常用的一组四矢量，第一组是空-时位置四矢量；第二组是波数四矢量；第三组是能量-动量四矢量；第四组电磁场势四矢量；第五组是电荷-电流密度四矢量。

为什么这些类似时-空 组合的量就是四矢量呢？什么是四矢量？

所谓四矢量，就是在4维空间下，满足（1）式变化条件的数学量。在四维狭义相对论下，旋转矩阵L是洛仑兹矩阵。满足这个操作性质的所有矩阵组成一个洛仑兹群。这个旋转并不仅仅是一般的3维旋转，而是一种长度等于距离的平方减去时间的平方的，双曲面意义下的旋转。一个不含旋转的LORENTZ矩阵一般长成这样：

其中beta 是v/c，gamma 是 1/Sqrt(1-v^2/c^2)。其几何意义饶有趣味但因超出了本文的范围所以暂时不谈。

1.1 

首先对于第一个，它就是四维时空的位置坐标，因此它就被定义为一组最基本的“4矢量”。由旋转，尺缩和时延效应，我们能从此推导出基本的洛仑兹矩阵L的形式。

1.2 

对于第二个，注意到以下关系：

（4）

这就是一列波的相位定义。而相位必须是一个标量，因为参考系的改变不会让一个波前的相位发生突变。注意在MINKOVSKI度规下：

因此（5）式可以被写成4维空间中点乘的形式：

其中A就是，B是。因为L是任意的旋转，为了让上式成立，显然B也必须按照同样的方式旋转。因而：

所以我们证明了，由频率和波矢组成的也是一个4矢量。

1.3 （5）

这两者我们将一起证明。

前者是能量-动量 矢量；后者是电荷-电流密度矢量。这两者都是相对论电动力学，相对论动力学中的根本物理量，正如一般动力学中的动量，电流一样。他们之所以在时空变换下满足洛仑兹的矩阵变换关系，就有赖于他们的矢量特性。

幸运的是，这两组分量都异曲同工地满足连续性方程式：

 其中第一式是MAXWELL 方程组下的电荷守恒所要求的；第二式是真空中能量守恒所要求的，假定能量都以光子的形式传递。实际上，这组等式是4维空间下包含时间坐标微分的散度关系式，但在点乘时，空间分量前相差一个负号。如何弥补这个差别？

我们只需要把散度算符做如下变化：

这实际上是把散度算符借由minkovski 度规 diag {1,-1,-1,-1} 从对偶矢量变成了矢量。因此上式的符号差异就可以理解了。

由（2），因而我们证明了电荷-电流密度以及能量-动量密度量是四矢量。

1.4 

最后，我们来证明相对论电磁场中，使用最广泛的势场的矢量性：

实际上，之所以标量势和矢量势组成的量是一个对偶矢量。出于电磁场的规范不变性，在规范自由的情况下，我们做了如下人为规定（洛仑兹规范）：

注意到这个方程在空间分量前的符号。

那么，根据（2）和1.3，我们有 是4-矢量结论。

由此，我们就能计算不同观察者之间，电场和磁场的相互转换了。

2 Field Tensor

2.1 小黄鸡与小黄瓜

假定有两个观察者小黄瓜和小黄鸡，小黄瓜相对小黄鸡做匀速运动。在小黄鸡的参考系下，放着一根带静电的无限长导线，根据MAXWELL方程式，小黄鸡必须看到一个静电场；在小黄瓜的参考系中，导线则带有均匀电流，小黄瓜必须看到一个静磁场。然而从物理上看，变换参考系并不会变换物理本身，静电场和静磁场必须是一个东西。本例已经说明，磁就是电的相对论效应（即便你的速度非常之小）；那么他们究竟是如何互相变换的呢？

2.2 寻找矢量

我们已经说明，参考系的变换就是一个旋转操作，操作矩阵是LORENTZ矩阵。为了找到不同参考系下，电磁场分量之间的关系，我们实际上就是要找到旋转操作前后，电磁分量的变换规律。

我们已经知道，如果电磁场是一个4-矢量，那么他的变换规律就非常简单，见（2）。很可惜的是，电磁场分量不可能构成一个4-矢量，原因如下：

1，电磁场分量一共有Ex，Ey，Ez，Bx，By，Bz 六个独立分量，他们无法组成一个只含有四个分量的4-矢量。

2，电磁场分量中，其中电场的的确确是一个3-矢量，磁场虽然也是矢量，但仔细看，它却是一个赝矢量【2】，因为它来自于叉乘。如果我们把参考系的坐标全部以原点为中心做反转，为了保证相应的右手性，磁场矢量也会跟着反转，但电场矢量不变。几何上它们的这一根本区别，决定了他们不可能地位均等的作为分量共同构成一个矢量。

那么，要寻找一个和电磁分量直接相关的4-矢量，第一步就应该把磁场分量这个赝矢量变成一个真矢量。

2.3 叉乘再见

有幸的是，数学上已经有这样一个构造。注意到叉乘的结论：

A和B 都是真矢量，因为叉乘，C是赝矢量。我们不妨把AjBk写成一个矩阵元的样子，这样就有：

（7）

其中

1/2 的系数来自于我们规定了C是一个反对称矩阵。epsilon是LEVI-CIVITA符号。当i,j,k两两不同时，此符号才非零。且规定i=1,j=2,k=3时取1，交换任意一对序号，都取负。 （7）式又是叉乘的一般写法。

这样，我们就把赝矢量B 写成矩阵的形式：

且

 

其中1=x,2=y,3=z 是分量的序号。我们注意到，Cjk这个矩阵，是两个真矢量乘积的产物（注意，不是点乘），这就是一个张量。我们不厌其烦地把一个赝矢量写成矩阵的形式，就是要把它转化成一个2阶张量。这个2阶张量的每一阶都是矢量。

2.4 张量你好

张量的好处在于，不但在形式上，它是矢量的延伸，在变换规律上，它也是（2）的延展。给定一个旋转操作L，矢量遵循（2）的变换规律，张量则遵循（2）的扩张版本：

（9）

因此我们只要找到赝矢量对应的张量，我们就能知道赝矢量的变换规律。

然而Bij 只是一个3维张量，四维空间中，我们知道时间和空间是耦合的，我们的举例也说明，电场和磁场是相互转换的。我们需要把磁场和电场分量共同融合成一个4维张量。这一设想是可行的，因为：

一个反对称的四维张量的自由变量数是4*3/2=6个，恰好是电场和磁场分量数的和。

而且我们已经找到了赝矢量磁场的一个3维张量。我们需要做的，只是把电场的空间分量粘上去即可：

因为电场是一个真矢量，我们将其直接写成四维形式：

其中1，2，3再次是x,y,z的代号。

插入（8）式的第一行，并保持（8）的反对称性，我们就得到：

这就是所谓的电磁场场张量。我们之所以把标号写成上标，是为了强调F张量是由矢量张成的。（而不是对偶矢量，对偶矢量应写成下标。这是爱因斯坦标记法的规定）。电场都除以c是为了保证电场分量和磁场分量在张量里的单位一致。

在相对论中，我们能证明F的变换规律，的确正如（9）式，这也就是说，F的确是一个4维空间的张量，叫做4-张量。实际上，我们可以把这个场张量正确地写成场势矢量的关系，这样就能保证所谓的规范不变和张量的变换性质。这也是如何将E分量粘贴到（8）式的技术细节。

这样，虽然我们不能把电场和磁场分量写成一个4-矢量，但我们能通过数学工具，巧妙的将他们组合成一个4-张量，这相当于两个矢量的张积。其变换规律虽然更为复杂，但也和LORENTZ矩阵正相关。因此，场张量F成为电磁场相对论分析中一个不可或缺的必要工具。

3 再遇小黄瓜和小黄鸡

我们用上面的物理工具来解决小黄瓜和小黄鸡之间的争议。

假定小黄鸡的参考系为S，小黄瓜为S’。

在小黄鸡的世界中，假定无限长带点导线沿Z方向，带正电；小黄鸡站在距离导线为r处，定为x方向。那么磁场为0，小黄鸡测量到的电场强度为：

记小黄瓜相对小黄鸡的运动速度为v，沿Z正方向。那么LORENTZ变换矩阵的形式就是：

我们因此有，小黄瓜测量的场张量为：

这也就是说，小黄瓜将会不但测到一个x方向的电场，同时还会测到一个-Y方向的磁场。这个磁场显然是与导体运动产生的电流有关，其值和v成正比（beta=v/c），和带电密度成正比 （Ex和带电密度成正比）。

注意到，不论是电场还是磁场，小黄瓜测到的值都比小黄鸡大了gamma 倍。这是由运动产生的尺缩效应引起的，因而对小黄瓜来说，导体上电荷的线密度比小黄鸭看起来的，要大了gamma 倍。电荷密度和电流密度同比增加。最后，小黄瓜测量的磁场强度是电场强度的1/c^2倍。这与电荷感生电和电流感生磁时，下面的关系式有关：

至此，我们解决了小黄鸡和小黄瓜之间，关于不同参考系下，电磁观测之间的矛盾。

@小黄鸡，是先有电还是先有磁呢？

BO，2013.1.8

【1】 实际上散度算子应该是一个对偶矢量。但在3维情况下，散度算子的转化成矢量就是其对偶矢量本身

【2】一个区分真矢量和赝矢量的例子是由FEYNMAN给出的。在这个例子里，假设你和一个遥远星球的外星人通话，但你们无法看到彼此和彼此周围的任何物体。如何无歧义的告诉外星人我们关于电场和磁场方向的定义呢？

对于电场，我们可以说，你把一个原子核放在另一个原子核附近，原子核移动的方向就是正电电场矢量的方向。因为我们知道原子核都带正点，除非外星人生活在反物质星球中。

但对于磁场，我们就没有办法无歧义的确定其方向。因为磁场正方向是从北极到南极的方向；这是地球磁场的方向，这完全只是一个习惯。你没有办法规定什么是北，什么是南。实际上，我们完全可以把地球南北调转，大家过的也照样很好。。地球的南北定义是非物理的，因此磁场的方向是无法无争议的定义的。这就是真矢量和赝矢量之间的物理区别。