准备1：电磁波
为什么世界上会有电磁波，这实在是一件很奇特的事情。
（此处，我们冒下让读者觉得无聊的风险，在向目标进发之前，先绕远路，讨论一下有助于全文逻辑一致和为之后深入做准备的细节问题。本文默认读者熟悉电动力学的基本知识）
我们先来回顾下经典电磁理论的基本假设：
1）电磁场由带电荷的源产生
2）电磁场承担体系能量
第一点是告诉我们，我们可以定义一个场，这个场可以是完全虚构的，比如你人站在这里，我给你定一个人场；一条鱼游在水里，我给他定义个鱼场。可是第二点却告诉我们，不，这个场不是虚构的，它具有物理意义。
设想这样一个情景，两个距离很远的一对正／负电荷，分别承载在质量为m的质点小球上。第一条假设告诉我们，空间中将会充满了一个从正电荷到负电荷的电场。第二条假设说，这个电场携带能量：
（1）
在平衡态统计力学中，可以给电磁场定义自由能［1］。电磁场自身朝着降低体系能量的方向发展，其目标很自然，就是让空间中的电场处处为零。
在绝热过程下［2］，其后果就是两个电荷相互靠近，直到合为一点，电荷抵消。正负电荷相互吸引莫缘于此了。同理，两个带同样的电荷的质点，为了降低电磁场的能量，他们会离的越远越好。整个过程中，电磁场损失的能量转换成了质点动能，整个宇宙的能量是守恒的。
能量的梯度就是力。从另一个角度说，电磁场也是代表“力”的一种信息。
试想，我们在空间某个位置放一电荷。那么它存在的信息（能量），将会通过电磁场的形式，以光速传播到整个空间。另外一处的电子，将会在一个延迟后的时间感受到这一信息，由上述关于能量的分析，它将会同样在一个延迟后的时间感受到这个力。
因此，电磁场的确是可以传播的，而且它的传播是有物理意义的。我们把传播中的电磁场叫做电磁波。
准备2：辐射
有了波的讨论，一切就不难理解了。许多老师用手一端握住绳来回振动，绳子波动的例子形象说明电磁波，这也是合适的［3］。距离振源为x的地方，其接受到的波动相位落后为:
（2）
如果是3维空间中的平面波，这个乘积应该是点乘（因为平行于波前的方向位移不会感受到相位落后）。因此波矢的概念完全是来自于波传播中的相位延迟。相位延迟的缘故是传播速度有限，波源的变化不能让空间的所有点立刻同时感到。实际上，如果让（2）式中的光速为无穷大，显而易见波矢就是0了。
因为波矢和位置在相位上的乘法地位，他们所代表的量：动量和位置，在波动力学中存在不确定关系。德不罗意是历史上通过相对论正确指出波矢和动量关系的第一人。
现在，我们让问题变的具体化。假定空间中存在某个局域的电流分布。电流的变化满足正弦（你总能把任意变化的时间变化傅立叶分解成正弦函数，正弦分解是波动解的一组完备基）关系，形式如下：
（3）
那么，在某一种和物理实际无关的标记下，矢量势可以表示为：
（4）
（4）
这个式子的含义无非是在观测点和观测时间（或者说，观测时空）处，所有电流存在”信息“叠加的结果。注意因为信息的传播速度是有限的，我们在积分时间上做了相应的延迟。
带（3）入（4），我们得到：
（5）
（5）
不出所料的，有限的传播速度转化成了波矢。这里的k满足（2）式。
如果我们考虑一系列总所周知的近似，例如（1）我们假设观测点距离源足够远，其尺度远大于源内部的电流分布尺度；（2）我们只考虑电流分布分母展开后带来的电荷偶极子项，人们将会得到下面的结果：
（6）
注意到前面和源无关的系数是球面波的传播系数。
后面的积分我们进行进一步的化简。我们想利用这样一个电流和电荷的关系：
（7）
因为电荷守恒，上式总是成立。
由此，对矢量势的每一个分量（cartesian）：
（8）
（9）
结合（7）和简谐假设：
（10）
p就是源处电偶极矢的积分。实际上，这个偶极子项在不论距源多远处都是成立的。（它只取了电流贡献的分母展开的legendre系数l=0项）
利用maxwell方程，由（10）我们可以计算源以外任何地方的场强：
（11）
这里直接引用jackson的结论[4]：
（12）
注意到只有分母为1/r的项才会传播到无穷远处。远场中，电场是和偶极子方向平行，而磁场是和电场垂直。近场就是静电偶极子的发出的波。但严格来说，每一项都是电磁波，只是远场和近场不同而已。
正文
到此为止我们复习完了本文所需的全部基础内容。我们现在来看，为什么一束平面波（这个讨论具有普遍性，因为平面波是空间任何波的完备基）在不同介质界面前后会发生折射呢？
人肯定会说，这么老生常谈的问题，这不是很简单么？给我一套maxwell 方程，我就能给你算出来。无非就是边界条件么！
这个解法当然是正确的，可他并未能涉及到问题的物理本质。我们只是假定在材料两侧事先存在宏观稳态的平面波，最后联立边界条件得解。可问题是，如此假定的依据何在？正如物理大师费曼在他的qed: the strange theory中所问：材料另一侧的平面波，能不能够从微观下，从光和物质的相互作用的角度分析而来呢［5］？
幸运的是，为了解决这个问题，我们并不需要太过高深的物理知识。本文提供的思路受到费曼讲义的影响，但与其不同的是，本文将会给出更为简洁的方法和完整的讨论［6］。
传播的本质是散射
在问为什么不同介质会对光产生折射之前，一个更有价值的问题是：为什么在同一介质中不发生折射？
折射显然来自于光与物质的相互作用。从宏观的角度来说，因为物质是均匀的，各向同的，因此在不破坏平移对称的前提下，maxwell宏观方程的结果是不发生折射。
可是问题往往从微观的角度看能更有价值。从微观的角度来说，光和物质相互作用的本质就是电磁波带动物质中电子运动，能量被其吸收，再由电子放出散射波的过程。由于波承载了电磁的全部物理意义（能量），那么最后形成的结果，就应该是原入射波和散射波的叠加。我们现在就来看看，入射波和散射波的叠加，能给我们什么结果。
假定在一个均匀介质中有一朝z方向传播的电磁波，其与z垂直的平面代表同相位面，如下图：
考虑一个波前a，它所经过的平面A上的原子，其所含电子都会因相互作用而发出新的散射波。因为他们处在同相位面上，因此他们散射出来的波在源处也是同相位的。我们下面证明，这些子波（具体形式参考公式12）互相叠加只能产生一个向前传播的散射波。
假定他们的叠加能产生一个和z轴成theta角的平面波，其波前如黄线所示。那么这个波前将是不可能存在的。因为任何一个从平面A的原子1发出，到达此波前的子波1，都存在一个原子2发射的子波2，和他的相位相差180度，振幅相抵消。只要子波1的源和子波2的源在平面A上相隔Lamda/2*Sin(theta) 即可。
显然只有当theta等于0，也就是向前散射的波，才不可能被其他子波抵消掉，因为此刻他们所需的距离是无穷大。实际上，只有向前传播的散射波，他们的子波才会处处同相位而不被抵消［7］。
同样，散射出的子波也会向后传播，可是为什么我们从来也没观察到同一介质中自发产生所谓反射波呢？这也是因为反向传播的任何一个波前，都会被相应的，另外的反向子波抵消掉（但他们不来自同一个平面A。实际上他们来自平面A', 其间距为1／4波长）。如下图：
由此，我们知道了。电磁波在物质中的传播，其实是无数平面上的散射子波在除了某一个方向外，其他方向处处抵消的结果。
层层分析
既然我们知道电磁波在一个均匀介质中只能朝前散射，我们来看看这个散射波和原入射波叠加之后，会有什么效果。
我们首先希望知道散射波的形式是什么。假定介质由原子构成，原子中的电子在电场激励下做简谐振动（lorentz 谐振子的谐振模型）。那么可想而知，电子会产生位移，而且位移的大小和外加电场成正比，同相位：
（13）
这里的chi 就是极化系数，N是电子密度。 因为位移乘以电荷就是偶极子强度。根据上面的准备，我们就能计算出这个原子所发出的散射波（12）。不过，因为我们面对的是平面A内无数的原子，因此我们不必进行上述复杂的计算，也能根据对称性得出散射波的形式。这就好比求一个无穷大均匀带电平板的电场分布一样：我们可以求出每一个电荷的场然后积分，也可以直接用高斯定理得到匀强电场的关系。
在此，因为散射源是均匀的偶极子平面，我们也期待得到一个和距离无关的［8］，匀强的辐射场。实际上，我们已经知道散射波叠加的结果只有可能是沿原方向且和平面垂直的平面波，平面波的场强显然是和距离无关的。
根据公式 v=dx/dt , 我们完全可以把上述的偶极子平面转换成一个均匀电流平面。好在这个平面求解电磁场的问题就变的十分简单了。
考虑一个无穷大的电流薄层（current sheet），如下图：
由安培定则，如果我们的环路取的离表面无穷近，忽略位移电流的贡献，在平面前方我们不难得到：
（14）
其中dz为平板厚度，j为电流密度，n为平面表面正方向。
虽然这个结论是在距离平面无穷近处得到的，但由于我们已知辐射波是平面波，因此（14）式在空间任何一点都是成立的。需要注意的是，因为信息的传播速度是有限的，（14）式需要乘上平面波的波矢相位项:
(15)
由平面波，我们容易得到电场的表达式：
(16)
综合（13） 和 v=dx/dt，我们推理：
(17)
散射出的平面波，原来正比于散射平面处的入射波，只是对他乘上了一个90度的相位项！由于这个dz无穷小，我们可以在认为入射波的强度没有变化，只是相位发生了延迟:
(18)
当然，我们的材料是由无穷个dz连接而成，因为我们已经论证了只存在前向散射，每一次散射后的波(18)又作为下一个散射的入射波。将（18）式子做一个无穷求和：
令：
(19)
则有
(20)
我们惊奇的发现，原来n就是折射率！而这无数次无限小的偶极子平板对原波产生的散射作用，无非就是让原来的波动在相位上进一步的延迟，相当于这一层一层的无限平面原子，把入射光坚持不懈地拖拽。原来传播z的距离，相位只落后kz；拖拽后，相位落后了nkz。这就是等效的说，波动传播的速度降低了n倍！
极化率决定折射率，折射率高，波动速度越慢，原来说的是这个意思！在微观模型的分析下，一切都一目了然了。
上面的乘法极限还能在复平面上形象的表达出来：
每次加上垂直方向的小量，加足够多次后，就会形成旋转。而相位e^(ik(n-1)z) 就是代表这个旋转。
斜角入射
我们已经搞清楚了为什么光进入物质后，物质会拖拽光，使光减速。不论光如何入射，光的速度总会减慢到原来的1/n倍。那么宏观上看，如何来解释光倾斜入射到介质中时，折射角不同于入射角这个物理现象呢？
显然，经过上面的讨论，我们知道，光的传播其实是无数散射互相抵消的结果。那么我们无非就是要看，光以一定入射角进入介质后，再以什么角度进行传播波前不会被抵消？其实，讨论到这里，折射角的计算已经完全和惠更斯的几何演算完全一样了。只是惠更斯能在原子发现和偶极子辐射公式几百年前，就能得到波前可以被看作是无数新的球面波源重新传播这个科学结论，实在是让人不得不为他的智慧叹服！
为了让文章完整，我们还是不厌其烦的为大家计算一下：
假设介质中传播的平面波方向为theta_t，入射角为theta_i。那么，总能找到同一平面上间隔为dl的两个原子，他们的衍射子波在折射波波前相消：
除非dl变成无穷远，也就是当
由此可得，唯一剩下的可传播的散射波的角度和入射角满足snell关系：
而原方向传播的入射光的能量，将会在历经几百到几万层原子层吸收后，消耗殆尽；介质内剩下的就只有相干增强的折射波了。可以想见，反射波的强度和极化率（也就是折射率）以及材料厚度有关。如果材料厚度非常小，小于几百层原子，那么他对光的折射就可以忽略不计了。
在这几百到几万层原子的过渡层中，还有相当一部分反向传播的散射，因为能量不能被完全相消干涉（因为干涉相消不但要求相位为\pi，还要求振幅相同），而逃逸出介质，形成反射。
brewster角
用微观的偶极子振动模型解释折射和反射，威力是无穷的。由这个模型，我们已经知道了，材料对入射关的折射于反射系数，取决于他的极化率（折射率），因为极化率能决定有多少入射光被重新散射。而且材料的厚度也能决定折射。此外，可想而知，传统意义上的，一个绝对分明的入射／折射界面，是不存在的，而应该是存在一个0.1－10nm厚的区域。在这个区域内，折射光在增强，入射光在消失。
由于这个区域的存在，那些在用maxwell方程解理想边界条件的人，应该认识到其宏观方程只是一种忽略大量细节的近似［9］。
微观模型还告诉我们，光的折射和反射，很可能于入射光的极性有关。brewster角就是这样一个绝佳的例子。如果用maxwell方程来理解brewster角，几乎是一件不可能的任务。可是用偶极子极化散射的理论，这一切完全是顺其自然:
对于电p波来说（就是极化方向和折射面平行的电场），如果折射角和反射角恰好为90度，那么其反射将为零。这是因为如果反射波存在的p分量的话，其传播方向应该和折射部分电场的方向平行。而折射的电场来电偶极子方向相同（参见16和17式）。对于一个电偶极子，通过计算他的辐射场（见式12的1/r部分），他不可能产生一个和其方向平行传播的电磁波。于是，反射的p分量只可能为零了。
这形象说明了为什么brewster角的条件是折射光与反射光成90度这样一个纯粹几何的关系，而与折射率等无关。
总结，比较和误差
通过本文的分析，我们已经理解了为什么介质能通过散射“拖慢”光速，并产生折射；我们也理解了散射／入射过度层的存在和brewster角的成因。当然，包括maxwell 方程在内的计算都存在近似成分，偶极子模型也不例外。下面我们分析近似方法以及其产生的误差：
1） 偶极子辐射近似。这是只有偶极子模型进行的近似
一个电流分布产生的辐射场不仅仅只有偶极子，还有磁偶极子和电四极子（参考jackson的教材）。当然他们的强度都成逐级递减的。
2）线性近似。这是maxwell方程和偶极子都存在的近似。
把电子对电场的响应近似为谐振响应，因此得到线性的极化率。实际上，还会存在高阶项，这些高阶项正是非线性光学的来源。但其强度很弱，需要外加电场逼近原子内部原子核对电子点场的强度后，才会体现。
在maxwell方法中，我们得到介质的折射率和极化率的关系是：
而前2项就是谐振子模型给出的答案。可见谐振子模型和maxwell 方程是十分接近的。但谐振模型的辐射场中忽略了高阶项，因此和maxwell 方法相比，还是存在一定误差。
下面我们对介质的偶极子谐振散射模型进行总结
pro:
能揭露微观世界中宏观方程无法触及的丰富细节
能揭露过渡区的存在
能极为形象的解释brewster角的成因
能极为形象的解释fresnel折射／反射率公式
能加深对电动力学的理解
con：
计算比较繁琐
对折射率的计算只能做到1阶近似
bottom line:
一切都能用微观解释，折射反射也一样。
总而言之，feynman在教材中只介绍了垂直入射，一层无穷大偶极子面的对入射光的影响。而本文解决了他的遗留问题，给出了比他介绍的积分更为简单的，求无限大偶极子平面辐射场的方法。而且对相位的累积求积分，得到正确的e^ik(n-1)z 的旋转关系。
［1］ 参考landau, 连续介质的电动力学
［2］也就是变化极慢的可逆过程，不考虑热交换和损耗
［3］实际上应该用3维空间中的kink解释电磁波的辐射Larmor公式。
［4］ 参考jackson 1999的271页
［5］qed the strange theory, feynman
［6］feynman lectures, chapter 31；一个更为复杂的，依靠积分求解的方法，见laser physics，lamb, appendix A
［7］不一定要和原入射波同相位。入射波能量被逐渐吸收，转化成折射波。
［8］但是存在和距离相关的相位项，也就是延迟。
［9］大部分方程只考虑了偶极子p对local field的贡献。或者说，只考虑了legendre polynomial的l=1的这项。
Bo Zeng 原著
(c) 2012
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