关于数学，傅里叶变换和虚数项

关于数学，傅里叶变换和虚数项

数学大牛请绕道。

这是一个关于傅里叶变换的故事。我想用一种比较有趣的语言把它写下来。

我们都知道，任何波形的“周期”函数，都能被所谓傅里叶展开，分解成其周期及其倍频（HARMONICS）的简单谐振函数（三角函数）。其中各个展开函数前置的系数，就是其频谱对应分量的幅值。其公式如下：

当然如果你喜欢的话，上述的COS换成SIN，也无伤大雅。

但是，仔细的读者马上就发现，这其实是有伤大雅的（为什么？）。不过在本文中，为了说明一个简单的道理，我们打算放在下文解释。

我们不打算证明傅里叶展开的收敛和其连续性质（这应该可以通过SIN或者COS谐振组成函数空间的一组无穷基来理解）。

我们继续大多数教科书中的步伐，如果函数f(x)并非周期函数，那么我们只要把其周期T取成无穷，即可仍旧展开成傅里叶级数，只不过上式中的无限求和转化成积分（因为求和步阶趋近于无限小）

(从dn到dk变量转换时，2pi 系数被频谱分量幅度吸收，因而出现在逆变换中）

问题到这里就出现了。既然可以通过COS或者SIN实函数完整表达一个函数的频谱分量（不论其周期与否），那么为什么我们最经典的傅里叶变换中，却通过欧拉指数的形式变相使用了复数？如果复数表达的是相位关系，他对应频谱分量超前和滞后的物理含义究竟是为何？COS和SIN各自独立成完全基，同时使用COS和SIN两组完全基是不是多此一举了？

我们首先回到最开始的那个问题，一个周期函数的的频谱分量能不能单纯就用COS或者SIN来表示呢？答案很不幸是否定的。其根本原因在于函数的坐标表达（REPRESENTATION）并非唯一确定。一个波形，选择合适的原点，可以让他变成奇函数，也可以让他变成非奇非偶函数。如果一个波形在你给定的坐标表达下是奇函数，那么用COS这个偶函数表达，显然会得到各项系数为0的荒谬结论。同理，如果一个偶函数，给定SIN展开，也会牛头不对马嘴，无法实现。

(合适的坐标表达，偶函数，无法被奇函数展开）

（另一种坐标表达，非奇非偶函数）

然而有趣的是，任何一种表达下的函数，都能分解成奇函数和偶函数的叠加：

所以，为了表达任意坐标表示下的波形系数，傅里叶变换中必须同时使用奇函数和偶函数2项，分别负责取出两个子空间的频谱分量，也就是：

或者更一般的说，函数空间被分为正交的两个子空间：奇函数空间和偶函数空间，正如电子的2个自旋一样。因此整个空间完整的表达必须是这两个正交子空间基的叠加。

到这里，我们的问题解决了一半。

我们现在知道，COS基能取出函数波形偶分量的频谱，SIN能取出奇分量的频谱。这样应该就完结了。那为什么傅里叶变换中还要引入虚数i呢？

这是个好问题。我们不妨回到复平面来解决这个问题。虚数i的物理含义，就是所谓相位差为1/4波长，或者说是90度的延迟。实际上，这正式SIN 函数和COS函数之间的相位差！

很显然：

因此，这个虚数i的实际意义，正式为了补偿在提取波形奇分量频谱时，不得已引入的二分之派的相位差!只有引入i的补偿，傅里叶变换才能如实还原这两个正交空间频谱和他们之间的关系。而之所以i能正确反应sin和cos之间的相位差，这并不是巧合，而是复平面正交表达的必然结果。在原坐标表示下，实数轴由cos表示，虚数轴由sin表示，他们之间的正交关系，如实反应了偶空间和奇空间的正交关系，因此我们才有如此完整的角度关系和被无数人传诵的欧拉公式：

实际上，欧拉公式在复平面正交表达中，几乎是不言自明的。

当然，关于虚数物理意义的详尽讨论还能走很远，限于本文篇幅，我们就此打住。但有一点可以明确，三角函数奇偶性质的互换，注定了虚数的数学命运和物理使命。我们的物理世界的确是由复数组成的，想想薛定谔方程里的i吧。我谨代表本人在此向最初对三角形和三角函数进行研究的数学家表示崇高的敬意。

由上，我们解决了傅里叶变换中，课本中几乎未能提及到的，虚数项之谜。

让我们来记住这个伟大的公式：

文章 IDEA： BO