On the linear and spin angular momentum of light

我们都知道光有动量，轨道角动量【1】，还有自旋。关于这三者的讨论汗牛充栋，争论不休，计算繁杂。作为普通大叔，如何避开MAXWELL方程组，形象地理解和推导他们，是一个首要问题。

实际上，考虑到MAXWELL方程的普适性，我们认为一个单电子振动模型，足以。本文将证明事实的确如此。

1. 自由单电子模型：

假定有一个自由的电子在空间，它在平面波下的运动方程为：

后面我们会说明，这个运动方程对于解决本问题是没有用的。不论如何，我们还是先来看看这个运动的稳态解：

方程的谐波解显然，是：

速度则是：

由此，出于无聊，我们画出几个周期内，电子的位移，速度和受力情况：

注意到力和速度相位总是相差180度。W=F＊V，这种情况下，电场对电子其实是不做功的：前半周期做的功，后半周期又被电子还回来了。

2. 带吸收电子模型

光子必须对电子做功，或者说，被电子吸收，光子的动量、自旋等才可能转移到电子上去。上述模型不存在吸收项。为了分析问题，我们必须引入吸收项：

记第一项的系数为A，第二项为B，我们有：

因而速度项：

如果我们只考虑电子吸收光子的过程，作B项图：

这时电子的受力和速度就是同相位的了。

3. 电场方向与电子动量：

由上分析，我们知道，电子在电场方向受到激励，做简单振动；振动的一部分只是好玩，没有吸收任何能量（散射），振动的另一部分不好玩，是吸收能量的（吸收）。但，不论是哪一种，或者他们两者的叠加，电子本身在电场方向是一个稳定运动，其动量和位移是简单谐振，平均值是0。实际上出于对称性，电场方向不可能有非零的动量传递。由此我们看到，电子吸收光子的能量，把能量传递给了摩擦等；但电子在电场方向上，并未获得实质性的动量。

那电子如何吸收光子的动量呢？

考虑到磁场和洛仑兹力，一切就能解释了。

磁场和电场同相位，且在电场的右手。因此，洛仑兹力给出的磁场里方向恰好沿着波矢k。认识到磁场就是电场的相对论效应（见4 VECTOR和FIELD TENSOR一文），光子的能量被电子横向吸收，光子的动量，则借助磁场，纵向传给了电子。（认识到，磁场对电子不做功，磁场只负责传递动量；一个负责传递能量，一个负责传递动量；一个是时间的化身，一个是空间的魅影；一个是第一列，一个是后三行【2】。这种鬼斧神工，不得不让人为之倾倒和惊叹）

注意到，B=E/c，其中c是光速。

根据动量定理，我们不难得到：

这就是单位时间内电子吸收的动量；

由上分析，其吸收的能量是：

我们有光子的能量动量之比：

由此我们可以得到，光子的静止质量为0。

4. 圆偏振：

光子是唯一个自旋能够在真实空间得意表征的基本粒子：实验表明，光子的自旋和光子的偏振有关，经常有题目求圆偏振光作用在材料上，材料受到的力矩是多大，但解答往往是首先利用了光子自旋角动量的结论，这属于循环论证。下面我们就来从头出发彻底求解这个问题，并给出光子的自旋。

取一个右旋圆偏振光，如何求解在自旋光下电子的运动呢？咋看之下很复杂，实际上非常简单。注意到在右旋偏振下，我们有如下分量关系式（保证电磁场的总强度不变）：

我们只需要分别求解正交坐标下x和y分量的运动，再合成即可。在上文中，我们已经解出了y方向的运动，x方向的运动仅仅是差了180度相位。我们可以直接写出电子的运动方程：

不难发现，电子将做一个从左到右顺时针定圆运动：

圆偏振场下，电子的运动轨迹就是一个圆。考虑到体系的旋转对称性，这个结论实际上可以不加证明的给出。

由于电子的运动可以被分解成x和y轴的独立运动，电场也能被分解为独立的2个分量，因此，关于做功，动量和能量等的分析，都和上文里线偏正的结论一样，那就是：磁场传递动量，电场传递能量；他们的值与上文一样。

如果考虑到磁场的动量转移，电子的运动轨迹将是一个螺线，在z方向上不断获得动量，匀加速运动。

任意一时刻，我们知道粒子的位置，我们也知道粒子的受力，不难得到粒子所受的力矩：

由符号可知，力矩方向也为顺时针右转方向。如果光子圆偏振为左偏，那么x方向电场将反向，不难知道，力矩方向也将反向（逆时针左转方向）。因此，电磁场对电子的力矩和光子圆偏振方向相同。

5. 自旋

由上，我们可以得到如下量纲关系（对sin平方取周期平均之后）。这两个公式是本文最重要的结论：

正如磁场洛伦次力表示了光子动量的损失一样，这里，力矩就表示光子被吸收后，自旋角动量的损失。这个关系是由牛顿力学决定的。

6. 自旋的量子化

于是，从光子的量子化假设，我们知道，光子的能量是频率乘以普朗克常数：

其中dN 是单位时间内，被吸收掉的光子数；omega是光子频率；k是光子波数；hbar是普朗克常数。

由上式，我们非但得出了光子的动量表达式，还证明了光子的自旋量子数！本文中，这个自旋数是正还是负已经无关紧要了，重要的是，光子的自旋角动量必须为hbar或者-hbar（如果是反向旋转），方向与波矢方向共线。由此，我们证明了，光子的角动量量子数为1。实际上，当角动量为1时，光子沿着波矢顺时针旋转；-1时，逆时针旋转。

至此，我们通过普适的单电子振动模型，解释了光子的动量和自旋角动量，并给出了他们的动力学解释和力学效应。

Bo，2013年1月17日

内容据作者所知还没有出现在公开发行的教材与刊物中，因此保留本文全部权利。

【1】 本文将不讨论轨道角动量的问题。有兴趣的读者可以去看波导中的模以及模的角动量；optical vortex和phase singularity等内容。对于轨道角动量，自旋角动量以及内秉角动量，外部角动量的讨论持续了数十年，最近才达成共识。本文计算的角动量和位置无关，应是自旋角动量。

【2】 见本人日志

4-Vector 和 Field Tensor，电磁场的相对论故事

3维空间中有3维矢量；我们是时空是4维空间，自然也有4维矢量。

问题是，哪些是合法的4-矢量？又问，如果小黄瓜和小黄鸡站在不同的参考系中，如何理解磁就是电的相对论效应？

0. 矢量和除法定理

先检查基本的矢量，也就是3-矢量。我们对三维空间中，表示位移的量A称为“矢量”并无异议。因为不难验证，如果把A写成列矩阵的形式，其满足在旋转操作下的变化规律：

(1)

其中A’ 为旋转后的新矢量，L是旋转矩阵，A是原矢量。旋转后，A的长度并没有变，但其在X，Y，Z方向上组成的分量显然发生了变化。这种描述各分量在旋转操作下发生上述变化的数学量，就是矢量。

因此凡是满足（1）式的数学量，就是矢量。

值得一提的是标量，其在旋转操作后，自身并不发生变化：

因此在任意维度的空间中只有一个分量，而且这个分量在旋转操作后不变的量，就是标量。

一个3-矢量乘以或者除以任意一个标量常数，仍然满足（1），因此还是3-矢量。这就是矢量的除法定理。

1. 寻找矢量

除了满足（1）的量，以及除法定理的量是3-矢量以外，我们需要问，还有什么样的量也是3矢量？

注意到如下的微分算符：

定义为散度。一般认为，一个矢量的散度是一个标量。那么，我们不难得到：

因为旋转是任意的，那么唯一合理的解释便是【1】：
（2）

这也就是说，del 算子也是一个矢量。

这对于我们判断（逆协变）矢量又有什么帮助呢？当然有。实际上，我们只要找到满足形如（3）式：

（3）

如果K是一个标量，根据同样的逻辑，那么我们可以断定，C必定是也一个矢量。

2 4-Vector

我们用上面的方法来证明四矢量。下面是相对论中最常用的一组四矢量，第一组是空-时位置四矢量；第二组是波数四矢量；第三组是能量-动量四矢量；第四组电磁场势四矢量；第五组是电荷-电流密度四矢量。

为什么这些类似时-空 组合的量就是四矢量呢？什么是四矢量？

所谓四矢量，就是在4维空间下，满足（1）式变化条件的数学量。在四维狭义相对论下，旋转矩阵L是洛仑兹矩阵。满足这个操作性质的所有矩阵组成一个洛仑兹群。这个旋转并不仅仅是一般的3维旋转，而是一种长度等于距离的平方减去时间的平方的，双曲面意义下的旋转。一个不含旋转的LORENTZ矩阵一般长成这样：

其中beta 是v/c，gamma 是 1/Sqrt(1-v^2/c^2)。其几何意义饶有趣味但因超出了本文的范围所以暂时不谈。

1.1 

首先对于第一个，它就是四维时空的位置坐标，因此它就被定义为一组最基本的“4矢量”。由旋转，尺缩和时延效应，我们能从此推导出基本的洛仑兹矩阵L的形式。

1.2 

对于第二个，注意到以下关系：

（4）

这就是一列波的相位定义。而相位必须是一个标量，因为参考系的改变不会让一个波前的相位发生突变。注意在MINKOVSKI度规下：

因此（5）式可以被写成4维空间中点乘的形式：

其中A就是，B是。因为L是任意的旋转，为了让上式成立，显然B也必须按照同样的方式旋转。因而：

所以我们证明了，由频率和波矢组成的也是一个4矢量。

1.3 （5）

这两者我们将一起证明。

前者是能量-动量 矢量；后者是电荷-电流密度矢量。这两者都是相对论电动力学，相对论动力学中的根本物理量，正如一般动力学中的动量，电流一样。他们之所以在时空变换下满足洛仑兹的矩阵变换关系，就有赖于他们的矢量特性。

幸运的是，这两组分量都异曲同工地满足连续性方程式：

 其中第一式是MAXWELL 方程组下的电荷守恒所要求的；第二式是真空中能量守恒所要求的，假定能量都以光子的形式传递。实际上，这组等式是4维空间下包含时间坐标微分的散度关系式，但在点乘时，空间分量前相差一个负号。如何弥补这个差别？

我们只需要把散度算符做如下变化：

这实际上是把散度算符借由minkovski 度规 diag {1,-1,-1,-1} 从对偶矢量变成了矢量。因此上式的符号差异就可以理解了。

由（2），因而我们证明了电荷-电流密度以及能量-动量密度量是四矢量。

1.4 

最后，我们来证明相对论电磁场中，使用最广泛的势场的矢量性：

实际上，之所以标量势和矢量势组成的量是一个对偶矢量。出于电磁场的规范不变性，在规范自由的情况下，我们做了如下人为规定（洛仑兹规范）：

注意到这个方程在空间分量前的符号。

那么，根据（2）和1.3，我们有 是4-矢量结论。

由此，我们就能计算不同观察者之间，电场和磁场的相互转换了。

2 Field Tensor

2.1 小黄鸡与小黄瓜

假定有两个观察者小黄瓜和小黄鸡，小黄瓜相对小黄鸡做匀速运动。在小黄鸡的参考系下，放着一根带静电的无限长导线，根据MAXWELL方程式，小黄鸡必须看到一个静电场；在小黄瓜的参考系中，导线则带有均匀电流，小黄瓜必须看到一个静磁场。然而从物理上看，变换参考系并不会变换物理本身，静电场和静磁场必须是一个东西。本例已经说明，磁就是电的相对论效应（即便你的速度非常之小）；那么他们究竟是如何互相变换的呢？

2.2 寻找矢量

我们已经说明，参考系的变换就是一个旋转操作，操作矩阵是LORENTZ矩阵。为了找到不同参考系下，电磁场分量之间的关系，我们实际上就是要找到旋转操作前后，电磁分量的变换规律。

我们已经知道，如果电磁场是一个4-矢量，那么他的变换规律就非常简单，见（2）。很可惜的是，电磁场分量不可能构成一个4-矢量，原因如下：

1，电磁场分量一共有Ex，Ey，Ez，Bx，By，Bz 六个独立分量，他们无法组成一个只含有四个分量的4-矢量。

2，电磁场分量中，其中电场的的确确是一个3-矢量，磁场虽然也是矢量，但仔细看，它却是一个赝矢量【2】，因为它来自于叉乘。如果我们把参考系的坐标全部以原点为中心做反转，为了保证相应的右手性，磁场矢量也会跟着反转，但电场矢量不变。几何上它们的这一根本区别，决定了他们不可能地位均等的作为分量共同构成一个矢量。

那么，要寻找一个和电磁分量直接相关的4-矢量，第一步就应该把磁场分量这个赝矢量变成一个真矢量。

2.3 叉乘再见

有幸的是，数学上已经有这样一个构造。注意到叉乘的结论：

A和B 都是真矢量，因为叉乘，C是赝矢量。我们不妨把AjBk写成一个矩阵元的样子，这样就有：

（7）

其中

1/2 的系数来自于我们规定了C是一个反对称矩阵。epsilon是LEVI-CIVITA符号。当i,j,k两两不同时，此符号才非零。且规定i=1,j=2,k=3时取1，交换任意一对序号，都取负。 （7）式又是叉乘的一般写法。

这样，我们就把赝矢量B 写成矩阵的形式：

且

 

其中1=x,2=y,3=z 是分量的序号。我们注意到，Cjk这个矩阵，是两个真矢量乘积的产物（注意，不是点乘），这就是一个张量。我们不厌其烦地把一个赝矢量写成矩阵的形式，就是要把它转化成一个2阶张量。这个2阶张量的每一阶都是矢量。

2.4 张量你好

张量的好处在于，不但在形式上，它是矢量的延伸，在变换规律上，它也是（2）的延展。给定一个旋转操作L，矢量遵循（2）的变换规律，张量则遵循（2）的扩张版本：

（9）

因此我们只要找到赝矢量对应的张量，我们就能知道赝矢量的变换规律。

然而Bij 只是一个3维张量，四维空间中，我们知道时间和空间是耦合的，我们的举例也说明，电场和磁场是相互转换的。我们需要把磁场和电场分量共同融合成一个4维张量。这一设想是可行的，因为：

一个反对称的四维张量的自由变量数是4*3/2=6个，恰好是电场和磁场分量数的和。

而且我们已经找到了赝矢量磁场的一个3维张量。我们需要做的，只是把电场的空间分量粘上去即可：

因为电场是一个真矢量，我们将其直接写成四维形式：

其中1，2，3再次是x,y,z的代号。

插入（8）式的第一行，并保持（8）的反对称性，我们就得到：

这就是所谓的电磁场场张量。我们之所以把标号写成上标，是为了强调F张量是由矢量张成的。（而不是对偶矢量，对偶矢量应写成下标。这是爱因斯坦标记法的规定）。电场都除以c是为了保证电场分量和磁场分量在张量里的单位一致。

在相对论中，我们能证明F的变换规律，的确正如（9）式，这也就是说，F的确是一个4维空间的张量，叫做4-张量。实际上，我们可以把这个场张量正确地写成场势矢量的关系，这样就能保证所谓的规范不变和张量的变换性质。这也是如何将E分量粘贴到（8）式的技术细节。

这样，虽然我们不能把电场和磁场分量写成一个4-矢量，但我们能通过数学工具，巧妙的将他们组合成一个4-张量，这相当于两个矢量的张积。其变换规律虽然更为复杂，但也和LORENTZ矩阵正相关。因此，场张量F成为电磁场相对论分析中一个不可或缺的必要工具。

3 再遇小黄瓜和小黄鸡

我们用上面的物理工具来解决小黄瓜和小黄鸡之间的争议。

假定小黄鸡的参考系为S，小黄瓜为S’。

在小黄鸡的世界中，假定无限长带点导线沿Z方向，带正电；小黄鸡站在距离导线为r处，定为x方向。那么磁场为0，小黄鸡测量到的电场强度为：

记小黄瓜相对小黄鸡的运动速度为v，沿Z正方向。那么LORENTZ变换矩阵的形式就是：

我们因此有，小黄瓜测量的场张量为：

这也就是说，小黄瓜将会不但测到一个x方向的电场，同时还会测到一个-Y方向的磁场。这个磁场显然是与导体运动产生的电流有关，其值和v成正比（beta=v/c），和带电密度成正比 （Ex和带电密度成正比）。

注意到，不论是电场还是磁场，小黄瓜测到的值都比小黄鸡大了gamma 倍。这是由运动产生的尺缩效应引起的，因而对小黄瓜来说，导体上电荷的线密度比小黄鸭看起来的，要大了gamma 倍。电荷密度和电流密度同比增加。最后，小黄瓜测量的磁场强度是电场强度的1/c^2倍。这与电荷感生电和电流感生磁时，下面的关系式有关：

至此，我们解决了小黄鸡和小黄瓜之间，关于不同参考系下，电磁观测之间的矛盾。

@小黄鸡，是先有电还是先有磁呢？

BO，2013.1.8

【1】 实际上散度算子应该是一个对偶矢量。但在3维情况下，散度算子的转化成矢量就是其对偶矢量本身

【2】一个区分真矢量和赝矢量的例子是由FEYNMAN给出的。在这个例子里，假设你和一个遥远星球的外星人通话，但你们无法看到彼此和彼此周围的任何物体。如何无歧义的告诉外星人我们关于电场和磁场方向的定义呢？

对于电场，我们可以说，你把一个原子核放在另一个原子核附近，原子核移动的方向就是正电电场矢量的方向。因为我们知道原子核都带正点，除非外星人生活在反物质星球中。

但对于磁场，我们就没有办法无歧义的确定其方向。因为磁场正方向是从北极到南极的方向；这是地球磁场的方向，这完全只是一个习惯。你没有办法规定什么是北，什么是南。实际上，我们完全可以把地球南北调转，大家过的也照样很好。。地球的南北定义是非物理的，因此磁场的方向是无法无争议的定义的。这就是真矢量和赝矢量之间的物理区别。