Foucault Pendulum，Parallel Transport and Classical Geometrical Phase

A Rotating frame.

For a general treatment, we consider a frame that is rotating by angular velocity Omega around an arbitrary axis where we set its coordinate origin.

In a frame that is inert (lab), absolute position can be described by the rotating frame, given its changing (rotating) bases at any time and coordinates associated with them.

The second equation converting derivatives to its Cross product comes from a more general rotation analysis.

We’ve reached:

This is understood as the absolute velocity in Lab is the sum of relative motion in that frame and a tangential velocity due to the frame’s rotation.

Take derivatives further to get Acceleration (Newtonian) law of motion:

Multiplying mass to get (inert) Force as:

For the simplest case, where rotation is perpendicular to displacement vector as well as its velocity (as respective with that frame):

Foucault Pendulum: A Pendulum on Earth.

If earth were not to rotate, a pendulum will keep swinging in the same plane defined by g and l for ever.

But our earth is indeed rotating along its polar axis. With pendulum’s non-zero velocity, it’s to expect a Coriolis effect on its plane of oscillation.

A full treatment is given as follows well as elsewhere[2].

Newtonian equation is obtained using inert forces:

or by components (* also after some careful visualization):

(2)

due to Cross Product of rotation axis of Earth and the x and y pendulum axis at a given altitude.  

Adiabatic Process

Adiabatic Process is known when a system is modified so slow that in each of the infinitesimal step it maintains energy. 

Now let’s consider what is meant for this equation. For rotation of earth being far slower 

, which is valid for all practical purposes

Pendular Motion due to gravity can actually be decoupled from that of Coriolis force. 

In other sense, we consider Coriolis term as an adiabatic perturbation. Thus, in addition to usual swing of our pendulum, its x and y positions ( or equivalently, the x-y coordinate axes in a counter direction) are taking a peculiar motion described by:

It’s to be found this motion is actually a rotation of [x,y] with a general solution:

It corresponds to a clockwise (in North Semi-sphere of earth, counter-clockwise in South) rotation of the line traced by our swinging pendulum. The actual rotary frequency of that pendular plane is half of what we’ve got here[3]

Geometrical origin of phase:

Consider you are sitting at northern pole of earth. What’s more, there is a straight rod on you hands. Now, hold your stick, move slowly so as each time you step forward, the stick is parallel transported. The process is called “Parallel Transport” and is in equivalence adiabatic (the stick’s internal state is conserved each step). Imagine you set out from the pole, move down along one longitude to equator, then move to another latitude while remaining on the equator, climb up the respective longitude and finally come back to the same pole, making a closed LOOP. Guess what, you will end up having a global phase difference between the angles of this stick when you start out and when you come back.

This phase difference has nothing to do with how fast you move (so long as it is slow enough) and what the initial angle is. It is purely geometrical, honored by its name “Geometrical Phase”.

The phase is geometrical for its value is totally determined by the area covered with the loop. Not quite. It is the solid angle spanning that area that sets the difference[4]. Usually it will multiply with another constant representing the spin of the traversing system.

Geometrical Phase and Foucault’s Pendulum.

From the local non-inert frame of a pendulum situated at a given latitude Psi , we concluded after one day, pendular plane will make a phase difference (angle) of 2PiCOS(Psi) . Now it can be explained by parallel transport in differential geometry as in somewhere else[5], or by the simpler parallel transport in Geometrical Phase.

Consider a pendulum at latitude Psi. This adiabatic process (or parallel transport) traverse along one longitude to complete a loop when it comes back to where it sets off (we call it a day) with area covered by this loop (enclosed by great circles)

Solid angle spanning this area is known by:

This sign convention is a matter of order of comparison. In exact agreement with one concluded from non-inert frame dynamics.[6]

［1］注意相对速度本身对时间求导时，作为一个依赖参考系基的向量，本身也会引入角速度叉乘项。

［2］参见《经典力学》教程

［3］从几何上而言，是因为在摆动同时存在时，这个系统的旋转角度为2重简并。旋转45度和旋转135度是不可区分的。如果严格求解那个微分方程，可以得到数学上相同的结果，也既是1/2 倍所得旋转角速度。

［4］参考关于berry phase的著作。

［5］关于微分几何的纯数学讨论，（其实也是平行移动和参数球面绝热过程的分析），见http://blog.renren.com/share/223331581/10898339880 《从傅科摆到矢量平行移动》

［6］对于自旋为1/2的电子，或者锁定动量方向的光子（2 level system），其在参数球面上环形移动局部变量不变导致的全局相位差需要再乘以1/2的因子。事实上量子几何相位中，相位变化为（自旋＊立体角）。这和量子力学中的旋转定义一致。参考berry's phase， Pancharatnam 给出的偏振光在poincare 参数球面移动而形成的Pancharatnam‘s phase。

谈韩寒：一个非充要条件的反思

是时候最后一次谈谈韩寒了。

最近麦田给韩寒的文章不必多说，一石激起千层浪。

麦田提示“要抱有怀疑的态度去看韩寒文字”，警惕一种“可能带有目的性的炒作和包装“，重点从来都不是也没有直接“论证”。不过部分人还是觉得这个怀疑的对象太大了，一下击中心中之偶像，士可杀不可辱，所以都一股脑纷纷跳出来骂战。不知实为菲薄也。

麦田对韩寒的质疑，虽然正如批评者所言，并未构成韩寒幕后团队操作的充分并且必要条件，但好歹还是给我们这些根本不了解韩寒，只知道一味崇拜的旁人提供了新的信息。麦田的本意，并非是确认韩寒幕后写手之身份，而是让知识界，对韩寒文字及其现象抱有基本的怀疑的看法，这是治学之道所客观要求的。

本文将从这些信息着手，试图言尽麦田原文中并未说完的话。

第一，韩寒的父亲的确有借韩寒之名，抨击中国教育制度之动机；因肺炎之缘故，韩寒父亲从大学被劝退，存在对教育制度之仇恨心理；其父也用过“韩寒”之笔名；其父文笔也不错：这一切都让韩寒成为其父意志的延续有了一定可能。这在此前，并不大为人所知。

第二，韩寒的文章内容是有清晰导向和主题变化的。从抨击教育到抨击文化界再到抨击政治。这如果不是一个团队精心策划的结果，起码也是一个人自己深刻思索所找到的目标与出路（否则其所写文章的内容就应该是杂乱无章的，这一点，我想每一个非名人和其他没有明晰定位名人的博客都有体现）。韩寒是给自己定位了的，是有标签的。他不是随性为之就创造出了这么个访问量，转发，评论达到或者超过千万的奇迹。

你想想，如果哪天你写了一篇很有质量，很有营养，很有启发性的文章，你是怎么才能达到千万级别的转发呢？如果你根本不出名，挂在自己的无名博客上，如何能被人发现并且转发呢？

如果不是有一个团队，那么也是韩寒本人，会有意的创造这么个展示和宣传的条件。虽然韩寒已经出名，但他博文的访问量，3年前和现在根本就云壤之别。这样，一个合理的推测就是，韩寒或者某人，刻意在人流量多的论坛或社群中张贴，转发其文章，甚至主动迎合观众口味，目的就是其访问获得爆炸性的增长。

从局外人来看，这似乎显得有点不可思议，有些以小人之心度君子之腹。但我想大家是先入为主了，认为宣传和刻意是一件坏事，好像韩寒就是在完全无意识之中，什么额外的安排都不需要做，就一举成名，成为中国人民反对暴政的代言人的；就好像一个中国的理科高中生，什么集训和冬令营也不必参加，甚至连这个奖也不知道，只要在家里默默的做题，就摘得世界物理竞赛金牌的；就好像毛泽东，邓小平，江泽民，不懂政治也根本没想过当元首做领袖，不通过任何政治斗争和手腕，就被人民选为国家主席的。

这根本就是一个可笑的理想的神话故事。在这个神话故事里，毫无目的，一心单纯的韩寒，路金波和韩寒他爸最能符合大家对三位一体的精神追求。

实际上，在如此一个商品经济的社会，什么事情不需要宣传，不需要“炒作”？没有卖点，你真的会去关心和你并不相关，你关心了也没有用的“国家大事”吗？从2007年到今天，网络上出现的各类名人，新浪微博上所有超过千万粉丝的名人帐号，哪一个不是被幕后团队炒作，策划，运作，推销过的？一个集权领袖都需要幕后智囊团，虽然他们的名字我们可能一个都不知道。

这就好像说演员，虽然有实力派，但最开始也是要包装的；企业的产品，虽然说有质量好的，但不作广告谁买？

这不是道不道德的问题，这而是现不现实的答案。

第三，我们来看韩寒本人。韩寒不但是一个“作家”，也是一个赛车手。赛车手的成绩完全无须质疑，但作家的水准还是有待商榷。为什么有待商榷？我绝对不是有罪推定，而是韩寒本人的“文学“水平变化实在太大，用戏谑的语言来说，他的均方差甚至都超过平均值。诚如麦田指出的，韩寒有时候在面对媒体访谈以及观众提问表现出的那种稚嫩和贫瘠，扭捏和迟钝，简直都不能想像这是一个对中国问题有所深思，笔耕不辍；在网络上撰文入木三分，一呼百应；凌晨一点还焚膏继晷能量爆满又极富激情的知识分子所言。

不仅如此，就看韩寒所写博文吧。在写几个关键时期的重大问题时（见麦田时间表），他的文字可以说是妙语不绝，字字珠玑，充满了一针见血的黑色幽默，甚至可以自成一家；而在写日常事务或者自家文艺时，就显得粗枝大叶不修边幅，有些甚至语句不通文气梗塞（譬如说漏了后文再来修补以下）。即便这繁花陋叶都是韩寒一人所写。也能看出其行文的目的性和选择性：那些最又受评的文字绝不是他如平时一般随口信笔而成的，反倒更有可能经过了其父，路金波等人的提炼和修改。这也是正常，谁上台能不化妆呢？韩寒上台也做不到。

更大的嫌疑不是韩寒如何在赛车投入如此精力的同时，还能有计划，有节奏，有安排，有导向的发表一系列高质量的文章，嫌疑在于即便拿他都做过准备，数次更改的文章来比对，其中的差异也是巨大。最新的韩三篇，按他所说是早已成文，反复修改，精心之作。可其中，不论文笔，立意，结构，词藻，几乎没有一点能比得上他之前在热点实事中的评论。第一篇甚至直接用问答的形式省去了文笔构思；最后一篇聊聊几段，无法圆场了只好扯出自己对文学出版界的”看法“，既然只是文学出版界的看法，他这三篇又何必披上国家大事的幌子？显然是为求收笔的无奈之举。韩寒在之前抱怨现状时行云流水般的幽默睿智没有了，剩下的只有自己抽空”反思“之后暴露出干瘪生涩外行和不自然。这些干瘪生涩外行和不自然在前几篇杂文中已有体现，而在此三篇达到一种极致。

同一个人，同样是表达心中之所想，非外人之所迫，行文表现差异如此，完全不啻于周杰伦和方文山作词之比较来：周杰伦是一个好的歌唱家，但他一定要说自己创作了“千里之外”，相信每位欣赏过”牛仔很忙”的人，都会哑然失笑。

当然，诚如开宗明义，来自于麦田的论据并不构成任何一个自足的充要条件，本文也不是为了证明韩寒就是存在一个幕后的运作团队（1）虽然这个团队只要路金波，韩父足以；2）这个团队存在的事实也可能正是韩寒常年来对“炒作”一词无以复加的避讳和敏感的原因之一；3）这也是为什么韩寒能夸下海口奖励2000万找出成员证据的缘故。的确，如果存在团队，不留下蛛丝马迹十分困难，但如果这团队只有韩寒，路金波和韩父，这就很难说了）。但这已经让我们对韩寒及其“不可能”的神话现象有了新的认识，即便韩寒不存在任何团队，其写作水准的持续下降，写作主旨的业余化虚幻化，更让我们建议他专注于赛车，而不是继续做一个自己”毫无刻意准备“的人民代言人与公共知识分子。当然如果韩寒及其可能的团队要利用他这个地位做一些其他的事，他们自会拒绝。韩寒是个凡人，但他也是个成功人，他以在赛车上的经验应该能够明白，在当今社会要想成事，不可能只靠自己，不靠合作。不靠合作，他博客和博文的成功又作何解释？韩寒说一个好的作者，不但要抨击政府还得要敢于抨击人民，实在是站着说话不腰疼。我只是很好奇如果他先抨击的是人民，他现在影响力的下场会是怎么样。不论如何，他都利用了人民情绪。

在当代，那些妄想凭借自己奋笔疾书，或者为国的一腔热血，大义凛然出名的人大可以休矣了。即便是鲁迅，也需有当时赏识他的贵人相助，才得风靡。我们不知道韩寒幕后究竟有没有运作团队，即便有，这也不是什么丢人的事。不过我们知道，真正为国家正义践行，和国家机器对抗的人，最后都成了被人遗忘的寒寒尸骨，有几个得如此风光？这个推定或许并构不成一个充要条件，但他的逆否命题，足以引起我们反思。