Mathematica 作图：从入门到进阶

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Mathematica 是理论家的最爱。她是符号计算，同时也是几大科学作图工具之一。其虽然功能强大，但就作图而言，却并不直观，且需一定的编程技巧，往往让人望而生畏。本文知难而进，目标是介绍并总结一些重要的Mathematica作图方法。

1）作图之基本

一般来说，科学计算只需要Mathematica 的两个作图函数：

Plot[f(x),{x,xmin,xmax},options] 和 Plot3D[f(x,y),{x,xmin,xmax},{y,ymin,ymax},options]

如下：

或者：

毫无疑问，这两张图非常难看，是不可能拿出去丢人的。这表明，为了作图，懂得这两个函数还远远不够。

2）控制格式

我们首先尝试美化上面2个图。第一个图y轴的那个峰被截掉了，我们要把它画全，因此加入PlotRange-> All 的选项：

第二张3D图，除了要PlotRange以外，还必须增加作图的精度，使图像更细致圆滑。为了做到这一点我们使用PlotPoints->100 这个选项：

当然，为了去掉网格，还可以加入Mesh->None。其它基本的自定义操作可在MATHEMATICA的档案文件中查找。本文接下来主要介绍档案文件中不存在的内容。

3）上色

Mathematica使用 PlotStyle 或者 Colorfunction 这两个options 给图形上色。下面我们分别举例：

以第一个SINC函数为例，如果需要指定线条的颜色，例如橙色，我们只需要加入

PlotStyle->Orange 即可:

不过有时候，我们需要作图的颜色和每个点的值有关，例如，希望线段的颜色和y的值成正比，则可以：

此ColorFunction 将y轴的值NORMALIZE到1和0，再加给Hue返回颜色。Hue[0]到Hue[1]返回的是一个彩虹色。如果不需要彩虹色，还可以用RGB等其他函数，或者自带的ColorData 来做，具体参见软件文档。

以第二个3D 下的含参SINC函数为例，同样我们也可以让它的颜色和z值相关。但有时候，我们并不需要把整个图形染色，我们只需要标注满足某些条件的点，让他们更显眼。由此，我们可以自定义ColorFunction函数如下：

其中color1是一个自定义的functional 函数。If是条件语句。更为复杂的条件语句可以用Mathematica自带的其他函数来实现，例如以下：

这是一个标注一个腔所有阶谐振模的作图。其中X轴是波长，Y轴是腔长。

4）利用Functional作图

有的时候，我们需要在一张图标中做一系列图，他们分别代表着不同的参数。除此之外，我们还需要一一系列相应的颜色进行区分。

这时候，我们就可以利用Mathematica强大的Functional 功能，将我们的作图函数Plot也写成一个带参量的函数：

首先我们需要用到Show函数来合并视图；

然后，我们将Plot函数本身写成 Functional 的形式：

这里，＃就是Functional 中的参变量，注意到我们同时把这个参数传递给了颜色函数Hue，并且做了归一化。其中Hue@#就是Hue[#]的后缀写法。最后，在整个Plot[]的括号后面，我们写上&， 表明这是一个Functional。再后的/@是Apply All, 也就是把@后面的一列表参数全部传给定义的Functional，最后由Show合并作图。下图就是结果。

实际上，我们可以同时传递多个参数，分别可以用＃1，＃2，＃3等表示，最后的传递函数不用/@而是用@@@

注意我们自定义了PlotRange

5) 复变函数的上色

复函数因为其2维特性，使得其数据可视化变得比较困难。一般而言，对于一个复函数z(x+iy)，我们只能取其辐值或者辐角作图，有没有一种可能，让我们在取其辐值的时候，又能根据其辐角上色，这样就能毫无损失的表达信息了呢？

因为辐角信息并不存在于作图函数（x,y,z）中，因为上述的ColorFunction方法失效了。然而Mathematica提供了丰富灵活的变量解析（Scoping），能让我们将辐角信息储存在内部变量中，并传递给作图函数上色，具体做法如下：

利用Block做本地变量解析：

6）自定义作图标记

在第四部分我们介绍了利用Functional 特性同时作图的方法，这些图有些时候还需要文字标记，如何迅速部署文字标记并将其和Functional 特性整合起来呢？

我们在Show中加入Graphics函数，插入所需的标记。这些标记的位置分散在x轴和对应的y值处。当然这样的标记也足够麻烦的。。。到此，Mathematica作图的局限性也开始体现。

全文完

2013 

BO

原子跃迁的秘密

主说：让原子跃迁

于是

原子见到光，便会了跃迁

原子中每个电子原本都存在于各自稳定的能级之中，因此原子自身是稳定的。假使有一束光子袭来，实验告诉我们，电子能够一份一份地吸收这些光子，且自身从低能级跃迁到高能级上去。与此同时，激光告诉我们，电子也能被这个光子诱导，从一个高能级衰变到低能级下来；此外，led灯也告诉我们，即便没有外加光子的骚扰，因为真空震荡，这些真空中的虚光子也可以诱导电子衰变，形成自发辐射。电子和光子的相互作用，不可谓不丰富，不可谓不独特，不可谓不神奇。

然而电子－光子相互作用的跃迁是要满足一定条件的。从能量上看，能量要守恒：Ei=Ef+gamma。其中Ef是终态电子在原子核中的能量，Ei是初态的能量，gamma是光子的能量。除此之外，角动量也要守恒：电子的初态绕着原子核转，有这么一个角动量a，终态上，电子以另外一种形态绕着原子核转，有这么一个角动量b。这两个角动量的差必须由光子来补充，这就是角动量守恒的限制。

不过一个以概率云存在的电子，是怎么能够发射出光子的呢？那么电子波函数的跃迁和一个经典的辐射模型有没有什么联系？从经典的电磁理论中我们且知，一个变速运动的电子能发出光子；一个简谐震荡的偶极子也能够发射光子（偶极子辐射）。这两者之间是否存在着联系？本文希望能在有限的篇幅内理其深意，予以解答。

1. 稳态的波函数：

作为准备，我们以氢原子为例，将电子在稳态下各个能级的波函数绘出如下：

其中L代表不同的角动量，ml代表不同的角动量分量，主量子数n决定波函数的能量但不影响其角度分布。我们只主要注意L<n即可，因此这里略去。不难发现一下几点：

1，角动量为0的波函数是一个中心对称的圆球，在任何方向没有极化。

2，角动量不为0的波函数，在空间存在极化。这里选择z为我们的极化轴，那么ml就代表波函数在z轴上的角动量分量。不难看出，当ml＝1，2，3时，波函数呈以z轴为中心的扁平状，这其实可以看作是电子的相位沿着扁平状的轨道绕着z 轴旋转。ml取的正，负号无非是电子旋转的方向顺／逆时针不同罢了。当ml=0时候，电子的相位轨迹可以看作是沿着z轴在z正负半轴震荡，因此其运动在z轴上的投影为0。

3，注意，电子相位的轨迹并不是电子运动的轨迹。波函数的模中已经没有了相位信息，因此电子在上述能级中是依照空间中的概率密度稳定存在的。这时候的电子因为静止，自然无法辐射光子。

2. 波函数的相干：

由上可知，虽然波的相位运动能决定角动量，但波的相位不会决定电子存在的概率分布。这是不是说波的相位从物理观测的角度上说，就毫无意义了呢？

如果能够回想起光的干涉试验，我们就会明白，在干涉中，波的相位将会呈现出明确的物理意义：它能通过相消和相长干涉重新定义波的概率分布。

把电子看作波，本质上说也就等价于允许电子进行干涉。那么电子究竟是否会发生干涉么？如果是，在什么条件下发生，干涉的结果又是如何呢？

3. 电子的干涉：

如果没有外界扰动，电子将永远地在自己地能级上呆下去，他们的确并不会干涉。然而在外加电磁波存在的情况下，局面发生了一些改变。

由微扰理论我们可知，系统在存在扰动情况下的本征态，将不可避免地成为无微扰时本征态的线性组合。假定原子有2个能态|1>和|2>。那么微扰后，系统新的本征态将会变成［1］：

|1>'=a|1>+b|2>, ....

这里的a和b是一个和扰动大小以及形式有关的系数。和电磁波中光的干涉一样，此处的线性组合，就代表了电子波函数之间的干涉：因为如果我们算新状态|1>'的强度（概率密度），也就是他的模，那么在表达式中将不可避免地出现|1>和|2>的交叉项，他们互相之间的相位就会开始起作用。

从薛定锷时间演化方程我们知道，电子波函数含时分量的相位正比于其能量：

也就是说，交叉项本身非但不为0，而且还含有一个和两个能级能量差相等的振荡频率。实际上我们下面就会说明，这么一个振荡频率，就是干涉后，电子概率波运动的频率，这也就决定了电子偶极子振荡后，发出/吸收光子的频率。转化成我们熟悉的语言，这就是著名的：

跃迁能量守恒关系。

4. 干涉，偶极子允许跃迁和跃迁禁闭：

由上可知，微扰导致干涉，而最后一节我们会看到，干涉就是引起跃迁根本原因。根据已知的本征态波函数和上面的含时相位关系，我们依次计算出不同能级干涉状态下的演化波函数。为了方便观察，我们将其做成了动画的形式（下图作者版权所有），依次列举如下：

4.1  态 l=0 和 l=1, ml=0 的干涉：

不难发现，这描述的是一个概率波沿着z轴振荡的电子。其振荡频率就等于两个能级之差（除以hbar）。考虑到电子带负电，原子核带正电，原子核不动，因此这就是一个振荡的偶极子。显然，该偶极子能够释放或者吸收一个线偏振光子。这就形象描述了一个从l=0到l=1，delta l=1这么一个跃迁过程中，电子波函数的演化过程。

4.2  态 l=0 和 l=1, ml=1 的干涉：

这是一个概率波绕着着z轴旋转振荡的电子。同时它就构成了一个旋转振荡的偶极子。显然，该偶极子能够释放或者吸收一个逆时针的圆偏振光子。这就形象描述了一个delta l=1 同时 delta ml=1 这么一个跃迁过程中，电子波函数的演化过程。

4.2  态 l=0 和 l=1, ml=－1 的干涉：

这是一个概率波绕着着z轴旋转振荡的电子。同时它就构成了一个旋转振荡的偶极子。显然，该偶极子能够释放或者吸收一个顺时针的圆偏振光子。这就形象描述了一个delta l=1 同时 delta ml=－1 这么一个跃迁过程中，电子波函数的演化过程。

以上3种情态对应了经典电磁场中振荡的电偶极子，因此能释放／吸收光子。这种跃迁叫做电偶极子允许跃迁

4.3  态 l=0 和 l=2, ml=0 的干涉：

我们下面来看一看一个电子如果要从l=0跃迁到l=2 上去，将会出现什么样子的情态：

你能看到，此刻，电子云虽然也在振荡，可由于其关于z轴原点处对称，在正半轴的电子云和负半轴的电子云恰好抵消，因此无法产生一个非零的偶极子，这样的跃迁不能辐射和吸收光子。这因此也叫做电偶极子跃迁禁闭。也就是说，如果你对氢原子照射一个光子，在电偶极子理论下，它是无论如何也不会发生从l=0到l=2的跃迁的。

出于好奇，我们再看一看ml＝1和2情况下，l从0到2的“跃迁”情态：

（ml＝1）

（ml=2）

这些ml非零的跃迁虽然存在围绕z轴的角动量，但因为电子云始终关于旋转轴对称，无法形成有效的极化（你可以看成2个头尾相反的偶极子的叠加，他们的有效偶极子就是0），因此无法进行偶极子辐射。他们因此也是电偶极子跃迁禁闭的。

4.4  态 l=0 和 l=3, ml=0 的干涉：

出于好奇，我们再看看从0到3的干涉图样：

能够证明，此时的波函数仍旧是关于z轴对称的（虽然形状不同，但积分之后，总电荷量是对称的）。因此同理，也无法进行电偶极子辐射。

4.5  其他几种从l=1到l=2态的干涉：

从上到下依次是ml=0,1,2。如果取ml=-1,-2，那么旋转方向变成顺时针。这些情态下，不难发现当ml=0和1时，是存在偶极子跃迁的，ml=2时没有偶极子跃迁。

5. 偶极子跃迁选择定理

由上分析，我们不难得到著名的偶极子跃迁选择定理(selection rule):

这也就是偶极子跃迁能发生的条件。从上面的动画，我相信大家此刻都对这么一条抽象的定理有了更为形象和深刻的理解：因为只有满足这些条件的跃迁，才会干涉出有效的振荡偶极子。其一般性可以从偶极子的空间对称性中得到证明。

6. 多极子的跃迁［3］

答案是否定的。这些非偶极子的电荷分布完全可能发射出四极子，八极子甚至更高数目极子的辐射，详细的说明可以参考jackson的关于偶极展开这部分内容。只不过这些多极子的强度将大大小于偶极子（每一级约为1000倍）。在存在偶极子跃迁的系统中，我们观察到的吸收主要来自于偶极子。

例如关于四极子，我们也有对应的允许／禁闭条件：

这也就是说，类似4.3的情况，将会存在四偶极子振荡；类似4.4的情况，将会存在八偶极子。类似4.5（3）的情况，因为既不满足偶极子又不满足四极子或更高极子的条件，因此不会有任何辐射，也就不会和对应的光子发生任何耦合（4.5（3）的形状也的确够扭曲的）。

7. 跃迁

在电磁场对原子体系进行扰动的过程中，电子云的相关各态之间发生了干涉。在做图的时候，我们假定了a,b系数恒定。这是不符合事实全貌的，但却是合理的，因为外加扰动的振荡频率应该远小于电子波函数本身的演化频率（或者说，电磁波的能量小于电子所在能态的能量）。因此，上文给出的演化情态在扰动过程中来看，是符合事实的。

但干涉的电磁波本身毕竟是时间的函数，严格地说，我们应该使用含时微扰。因为篇幅限制，我们不可能继续展开，但有一点可以肯定的是，此刻系数a,b也会是时间的函数。在吸收开始前，a=1,b=0，系统完全处于初态；在吸收结束后b=1,a=0，系统终结于末态。因此电子的波函数不会是永远振荡的，而是始于作用开始，结于作用完成。在这一过程中，电子将完成数十到数百次如上述的振荡，释放出一个频率满足E1-E2关系的光子波包。这个波包的长度可以从这一振荡总的持续时间来估算；这一时间总的来说满足时间－能量的测不准定理。

从上述偶极子振荡发出的功率，我们还能算出每秒钟，电子振荡所释放/吸收的光子数。由此我们能得到吸收/辐射的概率，并推算跃迁通道的life time。这些结论都和爱因斯坦的公式完全吻合［2］。

最后，我们以l=0 到 l=1且ml=0为例，考虑一个a,b含时变化下，电子云真实的振荡情况。由此我们能形象的看出一个电子是如何从初始状态，通过干涉，最终振荡跃迁到终止状态中去的：

全文完

［1］：量子力学的不含时微扰论

［2］：具体的计算细节可参考：Introduction to Modern Optics, Grant R Fowles.

［3］：注意到多极子跃迁中，角动量变化可能大于光子的自旋角动量，Lphoton=1，这一部分多余的角动量将由光子的轨道角动量提供。

Bo Zeng

(c)2013

互联网的庸众

我想，在互联网诞生之初，网络上是没有庸众的。

那么在互联网之末，也应该没有。

每个人都有潜力成为一些领中的专家。这里的专家，并非说一定要是达到国际水准的，受到世界公认的科学家，技术家，而是指对于这些范围内的话题，他们能提出起码的创见。这些创见具有庸言绯语所不具有的洞察力，创新性，给听众带来价值。

可惜往往当这些专家们，不论是富二代之中关于如何包养美女，如何买超跑，如何一掷千金做房地产买卖的专家，还是一般穷二代那些关于如何出国，考试，当公务员，学习化工，生仪，计算机等等方面的专家，当他们打破自然和社会的隔阂，欢聚一首时，当他们开始谈论那些和彼此“专业”都不相干的话题时，就出现了以下的现象：

1000个人转发，“请写下你现在手中书本第457页第2段的第3行的句子是什么“

这1000个人，我不愿意否认他们在各自领域的专业性，但他们以上的表演，将不啻为网络垃圾信息最大的制造者，和网络社区（如果还值得我们这么称呼的话）最大的庸众。这种信息，不能给听众带来任何价值，反而会激励他们内心展现自己在线的基因，拉无数的人下水。你想这种毫无门槛的东西，连一个比我还不如的人都获得了”参与，体现，传播和认可“，我又何故要缺席呢？

对，因此，数不尽的专家学者，那么本来对社会有价值的人，都纵身跳海了，虽然他们明明知道等到第二天，又会有“请写下你现在手中书本第3457页第4段的第2行的句子是什么“这样的东西把自己的排行榜洗白。

毫无疑问，互联网把人变得浮躁。在互联网成熟之前，我们所见，所听，所看，绝大部分都是人类精英中智慧的结晶，哪怕你看的是盗版。这些结晶，拉了我们一把，缩小了我们和精英的差距，给我们成为下一代，各个领域中的贡献者，铺平了道路。

我们看的新闻报道，是专业的，从来不是抱怨，流言和传闻；我们听的摇滚cd，是专业的，从来不是东施效颦，矫揉造作，强说愁；我们看的教材，电视剧，电影，显然也都是专业的，他们中的太多都成为了经典。我们从来不会听一个传媒系毕业的新闻剪辑出的cd，也不会看一个导演写的中学科学教材。这些东西，有些价值到现在还没有变，不过另外一些时至今日，已经变的面目全非。

草根化的潮流扩大了参与面，激活了一些交流互动，但如果不加控制，其带来的庸俗瘟疫就会蔓延，而我们每个人都会成为受害者。

网络的浮躁与参差不齐，让乐意在其中发现价值的人感到十分难堪。看看“知乎”，即便"stackexchange" ，长期在劣币，混乱，弱智和民科的笼罩下无法幸免。我们只好得出，真正创造价值的社区却不得已都是封闭的这种自我打脸的结论。

享有盛誉，言简意赅而又一针见血的经济政治杂志《经济学人》是不会允许一个交大毕业的工科生去发表什么言论的；可是校内对一个小学生都不设门槛，那么其不忍卒读的程度也就不难意会了。可问题是，《经济学人》每个人都能买得，既然如此，为什么还要把时间花费在校内这个毫无价值的地方上呢？

我想这批人中的少一部分，还是依旧对网络社区所蕴涵的价值真心不死。的确，在一个连mit 录取者，国内知名高校毕业生都来玩的地方，即便有再多的不堪，又如何能掩盖掉这些金子所散发的灿烂？

经验帖，业内人士的独到分析，辟谣，科普，甚至科研，算是我们能在校内这一堆断壁残垣中所能找到的，为数不多的灿烂。这些在从前往往应该是出书，慎重编辑和装潢的东西，摇身一变成为了网络时代毫无成本的码字软文，毫无门槛的发表，对于这些文字的权威性本身，就打上了一个问号。虽然在这个意义上，本文也不能幸免。站得高，风非加疾也，而闻者彰；可惜曲高和寡，这些作者们也只好站低一点，甚至随性而来，信手拈来了。

数一数过去的一年，你在“找出手上书中多少页多少行中的那句话“，”记得你是和谁一起看的泰坦尼克“这样的展开双手拥你进入地域的帖子上花了多少时间，数一数你在钓鱼贴，辟谣贴，反辟谣贴的论战中自得其感意淫快乐上花了多少时间，数一数你在校园牛人，政经明星，韩寒，白岩松，加藤嘉一的醍醐灌顶中飘飘欲仙，第二天醒来却又自觉与己于事无补，无所想干上花了多少时间。

这些浪费掉了的时间，全部加起来，如果都花在一本权威的书，花在活生生的人，花在身边的cd，花在最近的亲情上，是不是早就把一个人炼就成了仙。能否摆脱网络社交这种虚伪的参与者存在感游戏？我想如果能，从这一刻起，你就走出了平庸。

虚拟社交这是一场浩大的社会实验，成本是作者的激情，代价是观众的生命和时间。

Bo

2013 新年 

On the linear and spin angular momentum of light

我们都知道光有动量，轨道角动量【1】，还有自旋。关于这三者的讨论汗牛充栋，争论不休，计算繁杂。作为普通大叔，如何避开MAXWELL方程组，形象地理解和推导他们，是一个首要问题。

实际上，考虑到MAXWELL方程的普适性，我们认为一个单电子振动模型，足以。本文将证明事实的确如此。

1. 自由单电子模型：

假定有一个自由的电子在空间，它在平面波下的运动方程为：

后面我们会说明，这个运动方程对于解决本问题是没有用的。不论如何，我们还是先来看看这个运动的稳态解：

方程的谐波解显然，是：

速度则是：

由此，出于无聊，我们画出几个周期内，电子的位移，速度和受力情况：

注意到力和速度相位总是相差180度。W=F＊V，这种情况下，电场对电子其实是不做功的：前半周期做的功，后半周期又被电子还回来了。

2. 带吸收电子模型

光子必须对电子做功，或者说，被电子吸收，光子的动量、自旋等才可能转移到电子上去。上述模型不存在吸收项。为了分析问题，我们必须引入吸收项：

记第一项的系数为A，第二项为B，我们有：

因而速度项：

如果我们只考虑电子吸收光子的过程，作B项图：

这时电子的受力和速度就是同相位的了。

3. 电场方向与电子动量：

由上分析，我们知道，电子在电场方向受到激励，做简单振动；振动的一部分只是好玩，没有吸收任何能量（散射），振动的另一部分不好玩，是吸收能量的（吸收）。但，不论是哪一种，或者他们两者的叠加，电子本身在电场方向是一个稳定运动，其动量和位移是简单谐振，平均值是0。实际上出于对称性，电场方向不可能有非零的动量传递。由此我们看到，电子吸收光子的能量，把能量传递给了摩擦等；但电子在电场方向上，并未获得实质性的动量。

那电子如何吸收光子的动量呢？

考虑到磁场和洛仑兹力，一切就能解释了。

磁场和电场同相位，且在电场的右手。因此，洛仑兹力给出的磁场里方向恰好沿着波矢k。认识到磁场就是电场的相对论效应（见4 VECTOR和FIELD TENSOR一文），光子的能量被电子横向吸收，光子的动量，则借助磁场，纵向传给了电子。（认识到，磁场对电子不做功，磁场只负责传递动量；一个负责传递能量，一个负责传递动量；一个是时间的化身，一个是空间的魅影；一个是第一列，一个是后三行【2】。这种鬼斧神工，不得不让人为之倾倒和惊叹）

注意到，B=E/c，其中c是光速。

根据动量定理，我们不难得到：

这就是单位时间内电子吸收的动量；

由上分析，其吸收的能量是：

我们有光子的能量动量之比：

由此我们可以得到，光子的静止质量为0。

4. 圆偏振：

光子是唯一个自旋能够在真实空间得意表征的基本粒子：实验表明，光子的自旋和光子的偏振有关，经常有题目求圆偏振光作用在材料上，材料受到的力矩是多大，但解答往往是首先利用了光子自旋角动量的结论，这属于循环论证。下面我们就来从头出发彻底求解这个问题，并给出光子的自旋。

取一个右旋圆偏振光，如何求解在自旋光下电子的运动呢？咋看之下很复杂，实际上非常简单。注意到在右旋偏振下，我们有如下分量关系式（保证电磁场的总强度不变）：

我们只需要分别求解正交坐标下x和y分量的运动，再合成即可。在上文中，我们已经解出了y方向的运动，x方向的运动仅仅是差了180度相位。我们可以直接写出电子的运动方程：

不难发现，电子将做一个从左到右顺时针定圆运动：

圆偏振场下，电子的运动轨迹就是一个圆。考虑到体系的旋转对称性，这个结论实际上可以不加证明的给出。

由于电子的运动可以被分解成x和y轴的独立运动，电场也能被分解为独立的2个分量，因此，关于做功，动量和能量等的分析，都和上文里线偏正的结论一样，那就是：磁场传递动量，电场传递能量；他们的值与上文一样。

如果考虑到磁场的动量转移，电子的运动轨迹将是一个螺线，在z方向上不断获得动量，匀加速运动。

任意一时刻，我们知道粒子的位置，我们也知道粒子的受力，不难得到粒子所受的力矩：

由符号可知，力矩方向也为顺时针右转方向。如果光子圆偏振为左偏，那么x方向电场将反向，不难知道，力矩方向也将反向（逆时针左转方向）。因此，电磁场对电子的力矩和光子圆偏振方向相同。

5. 自旋

由上，我们可以得到如下量纲关系（对sin平方取周期平均之后）。这两个公式是本文最重要的结论：

正如磁场洛伦次力表示了光子动量的损失一样，这里，力矩就表示光子被吸收后，自旋角动量的损失。这个关系是由牛顿力学决定的。

6. 自旋的量子化

于是，从光子的量子化假设，我们知道，光子的能量是频率乘以普朗克常数：

其中dN 是单位时间内，被吸收掉的光子数；omega是光子频率；k是光子波数；hbar是普朗克常数。

由上式，我们非但得出了光子的动量表达式，还证明了光子的自旋量子数！本文中，这个自旋数是正还是负已经无关紧要了，重要的是，光子的自旋角动量必须为hbar或者-hbar（如果是反向旋转），方向与波矢方向共线。由此，我们证明了，光子的角动量量子数为1。实际上，当角动量为1时，光子沿着波矢顺时针旋转；-1时，逆时针旋转。

至此，我们通过普适的单电子振动模型，解释了光子的动量和自旋角动量，并给出了他们的动力学解释和力学效应。

Bo，2013年1月17日

内容据作者所知还没有出现在公开发行的教材与刊物中，因此保留本文全部权利。

【1】 本文将不讨论轨道角动量的问题。有兴趣的读者可以去看波导中的模以及模的角动量；optical vortex和phase singularity等内容。对于轨道角动量，自旋角动量以及内秉角动量，外部角动量的讨论持续了数十年，最近才达成共识。本文计算的角动量和位置无关，应是自旋角动量。

【2】 见本人日志